$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ EditToHeaderToFooter

凌宮読取術：$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$ ⇒ $$ (D + a) $$$$ y $$$$ = R $$ ⇒ $$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$ EditToHeaderToFooter


定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$*1である。
解の公式は積分式で与えられる：
定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：

$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$　　⇒　　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} R\, dx $$*2 $$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$　⇔　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$


暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
しかし問題は、丸暗記では既習や未習の知識と繋がりを持たず、全体を効率良く学べない。
特に、直後に学ぶ定数係数２階線形常微分方程式は、１階を応用すれば難しい暗記が不要になる。
定数係数の１階線形常微分方程式は微分で定義される多くの分野で現れるため、
「変数分離法＆定数変化法」*3という定番解法が大学入学早々叩き込まれる。

これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の定数係数常微分方程式に繋がるような、
学習済み知識に基づいた定数係数１階線形常微分方程式のもう少し考え易い解き方を与える。
変数分離法と定数変化法では解けることができても、直観的に解を得るのは難しい。
その上、高階の方程式を解くのに１階の解が多用されるため、ほぼ丸暗記する羽目になる。
例えば$$ D $$$$ \equiv $$$$ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、逆演算子$$ \ffd{1}{D+a} $$の形で暗記対象になる*4：
$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$　⇔　$$ y $$$$ = $$$$ (D+a)^{-1} $$$$ R $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

これに対し、凌宮数学では直観を重視する演算子法を拡張し、
指数変換演算子$$ E_a $$を導入して、$$ (D+a) $$の$$ +a $$に単純な意味を与え、
高階の常微分方程式に繋げやすい解法を与える。
$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$
⇔ $$ (D + a) $$$$ y $$$$ = R $$
⇔ $$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$
*1 $$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$を表す。
*2 $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \Big( $$$$ \int $$$$ e^{ax} R dx $$$$ + $$$$ C $$$$ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、煩雑のため凌宮数学では使わない。
*3 EMANの物理学>物理数学>微分方程式>一階線形微分方程式： http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential07.html
*4 EMANの物理学>物理数学>微分方程式>演算子法： http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential12.html

定数係数１階線形常微分演算子$$ (D+a) $$の分解表記 EditToHeaderToFooter

$$ D $$の逆演算子 EditToHeaderToFooter


一般に、微分$$ D $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$に対し、不定積分$$ y $$$$ = $$$$ \int $$$$ R $$$$ dx $$が定義される。
このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分$$ \int $$〜$$ dx $$となる。

考え方 EditToHeaderToFooter

積分で解く EditToHeaderToFooter


一般に、ある関数$$ F $$の常微分が分かれば、不定積分で解ける。

$$ (D+a)^{-1} $$の分解表記 EditToHeaderToFooter


定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ D^{-1} $$で書き換えると：

$$ \ddd{F}{x} $$$$ = $$$$ f $$　⇔　$$ F $$$$ = $$$$ \int f dx $$*5 $$ y $$$$ = $$$$ \iro[ao]{e^{-ax}} $$$$ D^{-1} $$$$ (\iro[ao]{e^{ax}} R) $$


$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$を$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。
このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形式的に次のように分解できる：
$$ (D+a)^{-1} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{e^{-ax}} $$$$ D^{-1} $$$$ (\iro[ao]{e^{ax}} \ast) $$

問題は、$$ \ast $$と書いている箇所に$$ R $$が入るが、これを簡単に省けない。
$$ D^{-1} $$は$$ e^{ax} $$と$$ \ast $$の両方に掛かるが、$$ D^{-1} $$$$ e^{ax} $$と書いた場合は$$ e^{ax} $$だけの積分に化けてしまう。
このため、積分対象を簡潔にかつ正しく記述するには、$$ e^{ax} $$も演算子にする必要がある。

１つの微分に纏める EditToHeaderToFooter

指数変換演算子： $$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$ EditToHeaderToFooter


$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$の特徴は、「$$ \ddd{y}{x} $$」、「$$ y $$」、「$$ + $$」である。
３つの特徴が出揃う公式を高校から学んだ微分公式から順に当たれば、積の微分に辿り着く：
$$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$と指数変換演算子を定義すると、
$$ E_a $$は必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $$$$ E_a $$だけで$$ D^{-1} $$$$ (e^{ax} \ast) $$を表現できるようになる。
$$ E_a $$を使えば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{\pm a} $$の演算子チェーンとして記述できる：

$$ \ddd{(pq)}{x} $$$$ = $$$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$*6 $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_{-a}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$


しかし、$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$を$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$と比較しても、
$$ q $$$$ = $$$$ y $$が嵌るものの、$$ p $$$$ = $$$$ 1 $$ と$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ 1 $$を同時に満せない。
このため、$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$を弄る必要がある。
さらに、$$ E_a $$は$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算子$$ E_a^{-1} $$は$$ e^{ax} $$の逆数の掛算となる：
$$ E_a^{-1} $$$$ = $$$$ (e^{ax})^{-1} $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ = $$$$ E_{-a} $$

積分因子を掛ける EditToHeaderToFooter


上記の試算は、$$ p $$$$ = $$$$ 1 $$の縛りが厳しすぎるため、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$となってしまい、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ a $$を満たす余地を無くしている。
その縛りを無くすには、例えば$$ p $$をそのまま$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$の両辺に掛ければ叶える：これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{a} $$だけの演算子チェーンとして記述できる：

$$ p $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ apy $$$$ = $$$$ pR $$ $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$


一般に、積分するために掛ける関数$$ p $$を積分因子と呼ぶ。
積分因子を掛けることにより複雑な微分を単純な微分に変換できるため、微分方程式では良く利く手法である。
意味は、$$ E_a $$で指数変換してから、積分して、$$ E_a $$の逆変換を掛ける、と読める。

$$ p $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ apy $$$$ = $$$$ pR $$を$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$と比較すると、 $$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが分かる。
幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式であるため、簡単に求まる：

$$ (D+a) $$の分解表記 EditToHeaderToFooter


$$ E_a^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$の逆演算を取ると、$$ (D+a) $$が得られる：

$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ ap $$

$$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式 $$ ( $$$$ E_a^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$$$ )^{-1} $$

⇔　$$ \ffd{dp}{p} $$$$ = $$$$ a $$$$ dx $$ ＝ $$ (E_a)^{-1} $$$$ (D^{-1})^{-1} $$$$ (E_a^{-1})^{-1} $$

変数分離 チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び

*7

⇔　 $$ \int \ffd{dp}{p} $$$$ = $$$$ \int $$$$ a $$$$ dx $$ ＝ $$ E_a^{-1} $$$$ D $$$$ E_a $$

不定積分 逆演算の逆演算は正演算


意味は、$$ E_a $$で指数変換してから、微分し、逆変換を掛ける、と読める。

ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$に関しては変わりが無い。

⇔　 $$ \log_e |p| $$$$ = $$$$ ax $$$$ + $$$$ k $$ $$ (D+a)^{\phantom{+1}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{\phantom{+1}} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$

積分実行、積分定数を$$ k $$とする。 指数変換→微分→逆変換

⇔　 $$ p $$$$ = $$$$ \pm e^{ax + k} $$ $$ (D+a)^{-1} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$

両辺で指数を取る

⇔　 $$ p $$$$ = $$$$ \pm e^{k} $$$$ e^{ax} $$
指数法則で定数部を分離 指数変換→積分→逆変換

今、$$ p $$は$$ \pm e^{k} $$$$ e^{ax} $$を満たせば良いので、以降では簡単そうな$$ e^{ax} $$を選ぶ。
*5 $$ F $$$$ = $$$$ F(x) $$、$$ f $$$$ = $$$$ f(x) $$。
*6 $$ p $$$$ = $$$$ p(x) $$、$$ q $$$$ = $$$$ q(x) $$。
*7 $$ FGx=y $$を纏めて飛ばすと$$ x=(FG)^{-1}y $$になるが、１つずつ飛ばすと$$ FGx=y $$ ⇒ $$ Gx=F^{-1}y $$ ⇒ $$ x=G^{-1}F^{-1}y $$。

略解例 EditToHeaderToFooter

以上で解く筋道が通る：
  • 微分方程式を解くために積分すれば良い
  • 積分するために１つの微分に纏めれば良い
  • 纏めるために積分因子を掛ければ良い

    計算例 EditToHeaderToFooter


    以上を纏めると、演算子分解法を使えば、定数係数１階数線形常微分方程式を以下のように解ける：
この筋道を逆から書けば「解答」となる：

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

原方程式

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ae^{ax} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$ ⇔ $$ Dy $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける 式１：常微分演算子表記

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{(e^{ax})}{x} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$ ⇔ $$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

積の微分に嵌める（不定積分を実行） 式２：定数係数１階線形常微分演算子表記

⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$ ⇔ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D $$$$ \iro[ao]{E_a} $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

１つの微分に纏める（部分積分を実行） 式３：演算子分解

⇔　$$ e^{ax} y $$$$ = $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$$$ R $$

積分する 式４：逆演算子表記

⇔　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ \iro[ao]{e^{-ax}} \!\!\int\!\! \iro[ao]{e^{ax}} $$$$ R $$$$ dx $$

両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理 式５：通常表記に復元

線形微分演算子 【編集中】 EditToHeaderToFooter


原方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$は、未知関数$$ y $$から既知関数$$ R $$を求める複雑な微分演算にも見える。
次のように１階線形常微分演算子$$ D_a $$を定義すると、演算$$ D_a $$と演算対象$$ y $$に明示的に分離できる。

演算子分解法に基づく、定数係数１階線形常微分方程式の解釈 EditToHeaderToFooter

上記式３を式４に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけを逆演算子に書き換えると式３’が得られる：

１階線形常微分演算子：$$ D_a $$$$ \equiv $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$ $$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

式２

１階線形常微分方程式：$$ D_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$　⇔　$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$ ⇔ $$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$

式３’：$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態

式２と式３'を見比べれば、$$ y $$と$$ R $$に関する定数係数１階線形常微方程式は、
指数変換を施した$$ E_a $$$$ y $$と$$ E_a $$$$ R $$に関する定数項無しの微分方程式であると解釈できる。

上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
一旦$$ uy $$$$ = $$$$ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：この考え方に基づくと、解答は次のように変る。
$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$
⇔ $$ Dy $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$
式１：常微分演算子表記
⇔ $$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$
式２：定数係数１階線形常微分演算子表記
⇔ $$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$
式３’：定数係数無しの微分方程式に読み替え
⇔ $$ y $$$$ = $$$$ E_a^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$$$ R $$
式４：逆演算子表記
⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} \!\!\int\!\! e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$
式５：通常表記に復元
  • $$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
  • $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
  • 互いに逆演算
  • ;,線形微分演算子$$ D_a $$を$$ D_a $$$$ y $$$$ \equiv $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ \bigg) $$と定義し、
  • ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $$$$ R $$$$ \equiv $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$と定義すると、
  • ;,$$ D_a $$$$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ I_a $$$$ \iro[gy]R $$
  • ;,演算子として$$ D_a^{-1} $$$$ = $$$$ I_a $$

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter


$$ D $$$$ = $$$$ \ddd{}{x} $$と置けば１階線形常微分方程式を$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$に書き換えるのは容易だろう。
その先、$$ (D+a)^{-1} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$と答えを丸暗記するよりは、
段階的に$$ E_a^{-1} $$$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$と分解してから個別に逆演算に直す方が覚えやすく、
$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $$を経ての$$ D $$と覚える方が理屈を付けやすいだろう。

$$ D+a $$に対し$$ E_a $$と$$ D $$しか登場しなければ、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$の順番を覚える必要が無くなる。
小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」などは、混乱の元でしか無い。
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