$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ EditToHeaderToFooter

定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$*1である。
解の公式は積分式で与えられる：

$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$　　⇒　　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} R\, dx $$*2

暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
しかし問題は、丸暗記では既習や未習の知識と繋がりを持たず、全体を効率良く学べない。
特に、直後に学ぶ定数係数２階線形常微分方程式は、１階を応用すれば難しい暗記が不要になる。

これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の定数係数常微分方程式に繋がるような、
学習済み知識に基づいた定数係数１階線形常微分方程式のもう少し考え易い解き方を与える。

*1 $$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$を表す。
*2 $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \Big( $$$$ \int $$$$ e^{ax} R dx $$$$ + $$$$ C $$$$ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、煩雑のため凌宮数学では使わない。

考え方 EditToHeaderToFooter

積分で解く EditToHeaderToFooter

一般に、ある関数$$ F $$の常微分が分かれば、不定積分で解ける。

$$ \ddd{F}{x} $$$$ = $$$$ f $$　⇔　$$ F $$$$ = $$$$ \int f dx $$*3

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$を$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。

１つの微分に纏める EditToHeaderToFooter

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$の特徴は、「$$ \ddd{y}{x} $$」、「$$ y $$」、「$$ + $$」である。
３つの特徴が出揃う公式を高校から学んだ微分公式から順に当たれば、積の微分に辿り着く：

しかし、$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$を$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$と比較しても、
$$ q $$$$ = $$$$ y $$が嵌るものの、$$ p $$$$ = $$$$ 1 $$ と$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ 1 $$を同時に満せない。
このため、$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$を弄る必要がある。

積分因子を掛ける EditToHeaderToFooter

上記の試算は、$$ p $$$$ = $$$$ 1 $$の縛りが厳しすぎるため、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$となってしまい、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ a $$を満たす余地を無くしている。
その縛りを無くすには、例えば$$ p $$をそのまま$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$の両辺に掛ければ叶える：

$$ p $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ apy $$$$ = $$$$ pR $$

一般に、積分するために掛ける関数$$ p $$を積分因子と呼ぶ。
積分因子を掛けることにより複雑な微分を単純な微分に変換できるため、微分方程式では良く利く手法である。

$$ p $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ apy $$$$ = $$$$ pR $$を$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$と比較すると、$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが分かる。
幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式であるため、簡単に求まる：

$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ ap $$

$$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式

⇔　$$ \ffd{dp}{p} $$$$ = $$$$ a $$$$ dx $$

変数分離

⇔　 $$ \int \ffd{dp}{p} $$$$ = $$$$ \int $$$$ a $$$$ dx $$

不定積分

⇔　 $$ \log_e |p| $$$$ = $$$$ ax $$$$ + $$$$ k $$

積分実行、積分定数を$$ k $$とする。

⇔　 $$ p $$$$ = $$$$ \pm e^{ax + k} $$

両辺で指数を取る

⇔　 $$ p $$$$ = $$$$ \pm e^{k} $$$$ e^{ax} $$

指数法則で定数部を分離

今、$$ p $$は$$ \pm e^{k} $$$$ e^{ax} $$を満たせば良いので、以降では簡単そうな$$ e^{ax} $$を選ぶ。

*3 $$ F $$$$ = $$$$ F(x) $$、$$ f $$$$ = $$$$ f(x) $$。
*4 $$ p $$$$ = $$$$ p(x) $$、$$ q $$$$ = $$$$ q(x) $$。

略解例 EditToHeaderToFooter

以上で解く筋道が通る：

  • 微分方程式を解くために積分すれば良い
  • 積分するために１つの微分に纏めれば良い
  • 纏めるために積分因子を掛ければ良い

この筋道を逆から書けば「解答」となる：

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

原方程式

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ae^{ax} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{(e^{ax})}{x} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

積の微分に嵌める（不定積分を実行）

⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

１つの微分に纏める（部分積分を実行）

⇔　$$ e^{ax} y $$$$ = $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

積分する

⇔　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理

線形微分演算子 【編集中】 EditToHeaderToFooter

原方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$は、未知関数$$ y $$から既知関数$$ R $$を求める複雑な微分演算にも見える。
以下のように１階線形常微分演算子$$ D_a $$を定義すると、演算$$ D_a $$と演算対象$$ y $$に明示的に分離できる。

１階線形常微分演算子：$$ D_a $$$$ \equiv $$$$ \bigg( \ddd{}{x} + a \Big) $$

１階線形常微分方程式：$$ D_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$　　⇔　　$$ \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$　　⇔　　$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$

そうすると、上記解答は次のように見える：

$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

$$ D_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

原方程式

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ ae^{ax} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{(e^{ax})}{x} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

積の微分に嵌める（不定積分を実行）

⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

１つの微分に纏める（部分積分を実行）

⇔　$$ e^{ax} y $$$$ = $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

積分する

⇔　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理

上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
一旦$$ uy $$$$ = $$$$ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：

  • $$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
  • $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
  • 互いに逆演算
  • ;,線形微分演算子$$ D_a $$を$$ D_a $$$$ y $$$$ \equiv $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ \bigg) $$と定義し、
  • ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $$$$ R $$$$ \equiv $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$と定義すると、
  • ;,$$ D_a $$$$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ I_a $$$$ \iro[gy]R $$
  • ;,演算子として$$ D_a^{-1} $$$$ = $$$$ I_a $$

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter
    数学 一覧 検索 最新 バックアップ リンク元   ヘルプ   最終更新のRSS