定数係数１階線形常微分方程式のバックアップ差分(No.25)

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* $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ [#u62f0746]
* 【校正中】凌宮読取術：$$ (D + a) $ y $ = R $$ ⇒ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$ [#o5cc9bba]

;,定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
;,ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$(($$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $ = $ 0 $$を表す。))である。
;,解の公式は積分式で与えられる：
定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：
#ceq(e)
    $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$　　⇒　　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} R\, dx $$(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} R dx $ + $ C $ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、煩雑のため凌宮数学では使わない。))
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)

;,暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
;,しかし問題は、丸暗記では既習や未習の知識と繋がりを持たず、全体を効率良く学べない。
;,特に、直後に学ぶ定数係数''２''階線形常微分方程式は、''１''階を応用すれば難しい暗記が不要になる。
;,定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
;,微分演算子$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$による演算子法が工学で多用される
(($$ (D+a) $$の逆演算と言えば$$ (D+a)^{-1} $$と書くのが一般的だが、部分分数分解を続けて使う場合が多いため分数型で書く場合もある。))：
#ceq(e)
  $$ (D+a) $ y $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ \ffd{1}{D+a} $ R $$
#ceq(end)

;,これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の定数係数常微分方程式に繋がるような、
;,学習済み知識に基づいた定数係数１階線形常微分方程式の''もう少し考え易い''解き方を与える。
;,右辺を比較すれば、次の関係式が出てくる。
#ceq(e)
  $$ \ffd{1}{D+a} $ R $$ ＝ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)

//;,変数の方程式は変数$$ x $$についての等式になっていて、等式が成立つ$$ x $$の値を求めるが、
//;,微分方程式は変数$$ x $$についての恒等式になっていて、等式が成立つ$$ y(x) $$の関係を求める。
//;,$$ x $$や$$ y $$の値を決めるワケでは無いので、微分方程式解くことは微分を無くす式変形に相当する。
;,一般的な演算子法でも、$$ \ffd{1}{D+a} $$は暗記対象になるが、
;,しかし、この左辺と右辺の対応は直観的ではなく、暗記は難しい。

//;,名前の右側から読み解くと、常微分とは$$ \ddd{^ny}{x^n} $$に関する方程式を意味する。
//;,線形とは係数$$ a_n $$と微分の積和式$$ \sum_{n=1}^{N} $ a_n $ \ddd{^ny}{x^n} $$である。
//;,１階とは$$ N = 1 $$、定数係数とは$$ a_n $$が$$ x $$の定数$$ a_n\overline{(x)} $$を意味する。
;,これに対し、凌宮数学では、線形偏微分演算子$$ (D+a) $$を更に分解し、
;,直感的に考えやすいように単純な演算子を用いて、暗記な暗記に置き換える。

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*定数係数１階線形常微分演算子の演算子分解表記 [#y554ec8e]
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** $$ D $$の逆演算子 [#t289c7a9]

;,一般に、微分$$ D $ y $ = $ R $$に対し、不定積分$$ y $ = $ \int $ R $ dx $$が定義される。
;,このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分$$ \int $$～$$ dx $$となる。

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* 考え方 [#x7399926]
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** 積分で解く [#hf246f9e]
;,一般に、ある関数$$ F $$の常微分が分かれば、不定積分で解ける。
** $$ (D+a)^{-1} $$の分解表記 [#yd24041b]

;,定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ D^{-1} $$で書き換えると：
#ceq(e)
  $$ \ddd{F}{x} $ = $ f $$　⇔　$$ F $ = $ \int f dx $$(($$ F $ = $ F(x) $$、$$ f $ = $ f(x) $$。)) 
  $$ y $ = $ e^{-ax} $ D^{-1} $ (e^{ax} R) $$
#ceq(end)
;,$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$を$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。

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** １つの微分に纏める [#s0c1fc1c]

;,$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$の特徴は、「$$ \ddd{y}{x} $$」、「$$ y $$」、「$$ + $$」である。
;,３つの特徴が出揃う公式を高校から学んだ微分公式から順に当たれば、''積の微分''に辿り着く：
;,このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形式的に次のように分解できる：
#ceq(e)
    $$ \ddd{(pq)}{x} $ = $ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$(($$ p $ = $ p(x) $$、$$ q $ = $ q(x) $$。))
  $$ (D+a)^{-1} $ = $ e^{-ax} $ D^{-1} $ (e^{ax} \ast) $$
#ceq(end)

;,しかし、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$を$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$と比較しても、
;,$$ q $ = $ y $$が嵌るものの、$$ p $ = $ 1 $$ と$$ \ddd{p}{x} $ = $ 1 $$を同時に満せない。
;,このため、$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$を弄る必要がある。
;,$$ \ast $$と書いている箇所に作用対象が入る。
;,$$ e^{ax} $$と$$ e^{ax} $$の作用対象である$$ \ast $$の両方が$$ D^{-1} $$の積分対象に入るのがポイントである。
;,しかし、$$ \ast $$を抜いて、単に$$ D^{-1} $ e^{ax} $$と書くと、$$ e^{ax} $$だけの積分に化けてしまう。
;,表記の曖昧さを無くすため、$$ e^{ax} $$も演算子にする必要がある。

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** 積分因子を掛ける [#w6c99026]
** 指数変換演算子： $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#v05cab5f]

;,上記の試算は、$$ p $ = $ 1 $$の縛りが厳しすぎるため、$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となってしまい、$$ \ddd{p}{x} $ = $ a $$を満たす余地を無くしている。
;,その縛りを無くすには、例えば$$ p $$をそのまま$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$の両辺に掛ければ叶える：
;,凌宮数学では指数変換演算子を以下のように定義する。
#ceq(e)
  $$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$
  $$ E_a $ = $ e^{ax} $$
#ceq(end)
;,一般に、積分するために掛ける関数$$ p $$を積分因子と呼ぶ。
;,積分因子を掛けることにより複雑な微分を単純な微分に変換できるため、微分方程式では良く利く手法である。
演算子であるため、必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $ E_a $$だけで$$ D^{-1} $ (e^{ax} \ast) $$を意味する。

;,$$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$を$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較すると、
  $$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが分かる。
;,幸い、これは変数分離形という易しい類の微分方程式であるため、簡単に求まる：
すると、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{\pm a} $$の演算子チェーンとして記述できる：
#ceq(e)
  $$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$
#ceq(a)
  $$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式
  $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ E_{-a} $ D^{-1} $ E_a $$
#ceq(end)

;,さらに、$$ E_a $$は$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算子$$ E_a^{-1} $$は$$ e^{ax} $$の逆数の掛算となる：
#ceq(e)
  ⇔　$$ \ffd{dp}{p} $ = $ a $ dx $$
#ceq(a)
  変数分離
  $$ E_a^{-1} $ = $ (e^{ax})^{-1} $ = $ e^{ax} $ = $ e^{-ax} $$
#ceq(end)

これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{a} $$だけの演算子チェーンとして記述できる：
#ceq(e)
  ⇔　  $$ \int \ffd{dp}{p} $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(a)
  不定積分
  $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $$
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で変換してから、積分して、逆変換を掛ける、と読める。

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** $$ (D+a) $$の分解表記 [#x749c36f]

;,$$ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $$の逆演算を取ると、$$ (D+a) $$が得られる：
#ceq(e)
  ⇔　  $$ \log_e |p| $ = $ ax $ + $ k $$
#ceq(a)
  積分実行、積分定数を$$ k $$とする。
  $$ ( $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ )^{-1} $$
#ceq(e)
  ⇔　  $$ p $ = $ \pm e^{ax + k} $$ 
  ＝ $$ (E_a)^{-1} $ (D^{-1})^{-1} $ (E_a^{-1})^{-1} $$
#ceq(a)
  両辺で指数を取る
  演算子チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び
#ceq(e)
  ⇔　  $$ p $ = $ \pm e^{k} $ e^{ax} $$ 
  ＝ $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $$
#ceq(a)
  指数法則で定数部を分離
  逆演算の逆演算は正演算
#ceq(end)

;,今、$$ p $$は$$ \pm e^{k} $ e^{ax} $$を満たせば良いので、以降では簡単そうな$$ e^{ax} $$を選ぶ。
;,ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$に関しては変わりが無い。
#ceq(e)
  $$ D+a $$ ⇒ $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $$
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で指数変換してから、微分し、逆変換を掛ける、と読める。

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* 略解例 [#f99103ca]
以上で解く筋道が通る：
- 微分方程式を解くために積分すれば良い
- 積分するために１つの微分に纏めれば良い
- 纏めるために積分因子を掛ければ良い
* 演算子分解法による定数係数１階数線形常微分方程式の計算例 [#w3172083]

この筋道を逆から書けば「解答」となる：
演算子分解表記により、定数係数１階数線形常微分方程式は以下のように計算できる：

#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  原方程式
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
  ⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
  式１：常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
  ⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  積の微分に嵌める（不定積分を実行）
  式２：定数係数１階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
  ⇔ $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  １つの微分に纏める（部分積分を実行）
  式３：演算子分解
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
  ⇔ $$ y $ = $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  積分する
  式４：逆演算子表記
#ceq(e)
  ⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
  ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^a $ R $ dx $$
#ceq(a)
  両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
  式５：通常表記に復元
#ceq(end)

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* 線形微分演算子 【編集中】 [#m298c1a3]
;,原方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$は、$$ \bigg( \ddd{}{x} + ay \Big) $ y $ = R $$と括れば、
;,未知関数$$ y $$から既知関数$$ R $$を求める少々複雑な微分演算にも見える。
* 演算子分解法に基づく、定数係数１階線形常微分方程式の解釈 [#r14a8e3e]



;,以下のように１階線形常微分演算子$$ D_a $$を定義すると、演算$$ D_a $$と演算対象$$ y $$に明示的に分離できる。
上記式３を式４に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけを逆演算子に書き換えると式３’が得られる：
#ceq(e)
  ''１階線形常微分演算子''：$$ D_a $ \equiv $ \bigg( \ddd{}{x} + a \Big) $$
  $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式２
#ceq(e)
  ''１階線形常微分方程式''：$$ D_a $ y $ = $ R $$　　⇔　　$$ \bigg( \ddd{}{x} + a \bigg) $ y $ = $ R $$　　⇔　　$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  式３’：$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態
#ceq(end)

そうすると、上記解答は次のように見える：
式２と式３'を見比べれば、定数係数１階線形常微分方程式から次の意味が読める：
#ceq(e)
  $$ \ddd{}{x} $ + $ a $ y $ = $ R $$
  ''作用対象$$ y $$と作用結果$$ R $$に対する定数係数１階線形常微分演算$$ (D+a) $$は、''
  ''&br;両方に指数変換演算$$ E_a $$を施してからの常微分演算$$ D $$と等価である。''
#ceq(end)

このため、次の考え方に基づく解答も可能である。
#ceq(e)
  $$ D_a $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  原方程式
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
  ⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
  式１：常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
  ⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  積の微分に嵌める（不定積分を実行）
  式２：定数係数１階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  １つの微分に纏める（部分積分を実行）
  式３’：両辺に対する指数変換を経ての常微分演算に分解
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
  ⇔ $$ y $ = $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  積分する
  式４：逆演算子表記
#ceq(e)
  ⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
  ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^a $ R $ dx $$
#ceq(a)
  両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
  式５：通常表記に復元
#ceq(end)


;,上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
;,一旦$$ uy $ = $ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
;,そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：

- $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
- $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
- 互いに逆演算

- ;,線形微分演算子$$   D_a $$を$$   D_a $ y $ \equiv $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ a $ \bigg) $$と定義し、
- ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $ R $ \equiv $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と定義すると、
- ;,$$ D_a $ \iro[gy]y $ = $ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $ = $ I_a $ \iro[gy]R $$
- ;,演算子として$$ D_a^{-1} $ = $ I_a $$


%bodynote
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* まとめ・つなぎ [#ff9fe3c5]
* まとめ・つなぎ [#j18079ad]

;,$$ D $ = $ \ddd{}{x} $$と置けば１階線形常微分方程式を$$ (D+a) $ y $ = $ R $$に書き換えるのは容易であろう。
;,その先、$$ (D+a)^{-1} $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と答えを丸暗記するよりは、
;,恐らく、$$ E_a^{-1} $ D $ E_a $ y $ = $ R $$と一旦分解してから個別に逆演算に直す方が理屈を付け易く、
;,さらに、$$ D $ E_a $ y $ = $ D $ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $$を経ての$$ D $$と覚える方が容易である。

;,$$ D+a $$に対し$$ E_a $$と$$ D $$しか登場しなければ、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$の順番を覚える必要が無くなる。
;,小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」などは、混乱の元でしか無い。

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定数係数１階線形常微分方程式 のバックアップ差分(No.25)

定数係数１階線形常微分方程式のバックアップ差分(No.25)
