定数係数1階線形常微分方程式 のバックアップ(No.28) |
【簡略中】凌宮読取術: ⇒定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている:
定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
右辺を比較すれば、次の関係式が出てくる。
一般的な演算子法でも、この式が暗記対象になるが、直観的ではなく、丸暗記は難しい。 これに対し、凌宮数学ではを直感的に考えやすい単純な演算に分解し、 定数係数1階線形常微分演算子の演算子分解表記の逆演算子一般に、微分に対し、不定積分が定義される。 の分解表記定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式の積分をで書き換えると: このため、の逆演算子であるは形式的に次のように分解できる: と書いている箇所に作用対象が入る。 指数変換演算子:と指数変換演算子を定義すると、
さらに、はの掛算であるため、逆演算子はの逆数の掛算となる: これを利用すれば、はとだけの演算子チェーンとして記述できる:
意味は、で変換してから、積分して、逆変換を掛ける、と読める。 の分解表記の逆演算を取ると、が得られる:
ポイントはが正演算に戻るだけで、とに関しては変わりが無い。
意味は、で指数変換してから、微分し、逆変換を掛ける、と読める。 演算子分解法による定数係数1階数線形常微分方程式の計算例演算子分解表記により、定数係数1階数線形常微分方程式は以下のように計算できる:
演算子分解法に基づく、定数係数1階線形常微分方程式の解釈上記式3を式4に書き換える途中、先頭のだけを逆演算子に書き換えると式3’が得られる:
式2と式3'を見比べれば、とに関する定数係数1階線形常微方程式は、 この考え方に基づくと、解答は次のように変る。
まとめ・つなぎと置けば1階線形常微分方程式をに書き換えるのは容易だろう。 に対しとしか登場しなければ、との順番を覚える必要が無くなる。 |