定数係数１階線形常微分方程式のバックアップ(No.5)

$\ddd{y}{x} + ay = f$

定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
ここで、 $$ y $$ と $$ f $$ は $$ x $$ の関数 $$ y(x) $$ と $$ f(x) $$ で、 $$ a $$ は $$ x $$ の定数 $a\overline{(x)}$ *1である。

方程式 $\ddd{y}{x} + ay = f$ の解は、次の積分を計算すれば得られる：

$$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax} f dx$ *2

この積分式は定数係数１階線形上微分方程式の解の公式と呼ばれる物で、
暗記してしまえば、定数係数の１階で線形な常微分方程式であれば、とりあえず解けることになる。

問題は、指数部の符号が紛らわしいため、丸ごと覚えるには向かない煩雑さである。
少し丁寧な解き方では $$ f $$ を無視した同時方程式から解くとか、定数を変数と見なしてみるとか、一見非論理的な手法で解く。

そして、定数係数２階線形常微分方程式に繋がるが、丸暗記では応用が利かない。

そこで、凌宮数学では、２階を含んだ $$ N $$ 階の定数係数常微分方程式も視野に入れ、
定数係数１階線形常微分方程式について、もう少し納得しやすく、かつ、応用の利く解き方を与える。

*1 $a\overline{(x)}$ は凌宮数学の定数表記であり、 $\ddd{a}{x}$ $$ = $$ $$ 0 $$

を表す。
*2

$e^{-ax}$ $\Big($ $\int$ $e^{ax} f dx$ $$ + $$ $$ C $$ $\Big)$ と積分定数を明示する書き方もあるが、式が煩雑になるため凌宮数学では使わない。