定数係数１階線形常微分方程式のバックアップの現在との差分(No.5)

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* 凌宮読取術：$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$ ⇒ $$ (D + a) $ y $ = R $$ ⇒ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$ [#y4dfccef]

* $$ \ddd{y}{x} + ay = f $$ [#u62f0746]
;,定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：
#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)

;,定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
;,ここで、$$ y $$と$$ f $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ f(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$(($$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $ = $ 0 $$を表す。))である。
;,定数係数の１階線形常微分方程式は微分で定義される多くの分野で現れるため、
;,「変数分離法＆定数変化法」
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>一階線形微分方程式： http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential07.html))という定番解法が大学入学早々叩き込まれる。

//;,変数の方程式は変数$$ x $$についての等式になっていて、等式が成立つ$$ x $$の値を求めるが、
//;,微分方程式は変数$$ x $$についての恒等式になっていて、等式が成立つ$$ y(x) $$の関係を求める。
//;,$$ x $$や$$ y $$の値を決めるワケでは無いので、微分方程式解くことは微分を無くす式変形に相当する。
;,変数分離法と定数変化法では解けることができても、直観的に解を得るのは難しい。
;,その上、高階の方程式を解くのに１階の解が多用されるため、ほぼ丸暗記する羽目になる。
;,例えば$$ D $ \equiv $ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、逆演算子$$ \ffd{1}{D+a} $$の形で暗記対象になる
((EMANの物理学>物理数学>微分方程式>演算子法： http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential12.html))
：
#ceq(e)
  $$ (D+a) $ y $ = $ R $$　⇔　$$ y $ = $ (D+a)^{-1} $ R $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(end)

//;,名前の右側から読み解くと、常微分とは$$ \ddd{^ny}{x^n} $$に関する方程式を意味する。
//;,線形とは係数$$ a_n $$と微分の積和式$$ \sum_{n=1}^{N} $ a_n $ \ddd{^ny}{x^n} $$である。
//;,１階とは$$ N = 1 $$、定数係数とは$$ a_n $$が$$ x $$の定数$$ a_n\overline{(x)} $$を意味する。
;,これに対し、凌宮数学では直観を重視する演算子法を拡張し、
;,指数変換演算子$$ E_a $$を導入して、$$ (D+a) $$の$$ +a $$に単純な意味を与え、
;,高階の常微分方程式に繋げやすい解法を与える。

;,方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = f $$の解は、次の積分を計算すれば得られる：
#ceq(e)
    $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} f dx $$(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} f dx $ + $ C $ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、式が煩雑になるため凌宮数学では使わない。))
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ (D + a) $ y $ = R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(end)
;,この積分式は定数係数１階線形上微分方程式の解の''公式''と呼ばれる物で、
;,暗記してしまえば、定数係数の１階で線形な常微分方程式であれば、とりあえず解けることになる。

;,問題は、指数部の符号が紛らわしいため、丸ごと覚えるには向かない煩雑さである。
;,少し丁寧な解き方では$$ f $$を無視した同時方程式から解くとか、定数を変数と見なしてみるとか、一見非論理的な手法で解く。
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*定数係数１階線形常微分演算子$$ (D+a) $$の分解表記 [#nbcde897]
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** $$ D $$の逆演算子 [#j29605dc]

;,一般に、微分$$ D $ y $ = $ R $$に対し、不定積分$$ y $ = $ \int $ R $ dx $$が定義される。
;,このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分$$ \int $$～$$ dx $$となる。

;,そして、定数係数''２''階線形常微分方程式に繋がるが、丸暗記では応用が利かない。
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** $$ (D+a)^{-1} $$の分解表記 [#pa5233d4]

;,そこで、凌宮数学では、２階を含んだ$$ N $$階の定数係数常微分方程式も視野に入れ、
;,定数係数１階線形常微分方程式について、もう少し納得しやすく、かつ、応用の利く解き方を与える。
;,定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ D^{-1} $$で書き換えると：
#ceq(e)
  $$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax}} R) $$
#ceq(end)
;,このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形式的に次のように分解できる：
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} $ D^{-1} $ (\iro[ao]{e^{ax}} \ast) $$
#ceq(end)

;,問題は、$$ \ast $$と書いている箇所に$$ R $$が入るが、これを簡単に省けない。
;,$$ D^{-1} $$は$$ e^{ax} $$と$$ \ast $$の両方に掛かるが、$$ D^{-1} $ e^{ax} $$と書いた場合は$$ e^{ax} $$だけの積分に化けてしまう。
;,このため、積分対象を簡潔にかつ正しく記述するには、$$ e^{ax} $$も演算子にする必要がある。

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** 指数変換演算子： $$ E_a $ = $ e^{ax} $$ [#e855e482]

;,$$ E_a $ = $ e^{ax} $$と指数変換演算子を定義すると、
;,$$ E_a $$は必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $ E_a $$だけで$$ D^{-1} $ (e^{ax} \ast) $$を表現できるようになる。
;,$$ E_a $$を使えば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{\pm a} $$の演算子チェーンとして記述できる：
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_{-a}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(end)

;,さらに、$$ E_a $$は$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算子$$ E_a^{-1} $$は$$ e^{ax} $$の逆数の掛算となる：
#ceq(e)
  $$ E_a^{-1} $ = $ (e^{ax})^{-1} $ = $ e^{-ax} $ = $ E_{-a} $$
#ceq(end)

これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{a} $$だけの演算子チェーンとして記述できる：
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''積分''して、$$ E_a $$の''逆変換''を掛ける、と読める。

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** $$ (D+a) $$の分解表記 [#x6916144]

;,$$ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $$の逆演算を取ると、$$ (D+a) $$が得られる：
#ceq(e)
  $$ ( $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ )^{-1} $$
#ceq(e)
  ＝ $$ (E_a)^{-1} $ (D^{-1})^{-1} $ (E_a^{-1})^{-1} $$
#ceq(a)
  チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び
(($$FGx=y$$を纏めて飛ばすと$$x=(FG)^{-1}y $$になるが、１つずつ飛ばすと$$FGx=y$$ ⇒ $$Gx=F^{-1}y$$ ⇒ $$x=G^{-1}F^{-1}y$$。))
#ceq(e)
  ＝ $$ E_a^{-1} $ D $ E_a $$
#ceq(a)
  逆演算の逆演算は正演算
#ceq(end)
;,意味は、$$ E_a $$で''指数変換''してから、''微分''し、''逆変換''を掛ける、と読める。

;,ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$に関しては変わりが無い。
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{\phantom{+1}} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{\phantom{+1}} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(a)
  指数変換→微分→逆変換
#ceq(e)
  $$ (D+a)^{-1} $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $$
#ceq(a)
  指数変換→積分→逆変換
#ceq(end)

%bodynote
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* 計算例 [#r56dac57]
;,以上を纏めると、演算子分解法を使えば、定数係数１階数線形常微分方程式を以下のように解ける：

#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  式１：常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式２：定数係数１階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D $ \iro[ao]{E_a} $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式３：演算子分解
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{E_a^{-1}} $ D^{-1} $ \iro[ao]{E_a} $ R $$
#ceq(a)
  式４：逆演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ \iro[ao]{e^{-ax}} \!\!\int\!\! \iro[ao]{e^{ax}} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  式５：通常表記に復元
#ceq(end)

%bodynote
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* 演算子分解法に基づく、定数係数１階線形常微分方程式の解釈 [#i9c1b533]

上記式３を式４に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけを逆演算子に書き換えると式３’が得られる：
#ceq(e)
  $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式２
#ceq(e)
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  式３’：$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態
#ceq(end)

;,式２と式３'を見比べれば、
;.$$ y $$と$$ R $$に関する''定数係数１階線形常微方程式は、''
;,''指数変換を施した''$$ E_a $ y $$と$$ E_a $ R $$に関する''定数項無しの微分方程式である''と解釈できる。

この考え方に基づくと、解答は次のように変る。
#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(e)
  ⇔ $$ Dy $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  式１：常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ (D+a) $ y $ = $ R $$
#ceq(a)
  式２：定数係数１階線形常微分演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  式３’：定数係数無しの微分方程式に読み替え
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ E_a^{-1} $ D^{-1} $ E_a $ R $$
#ceq(a)
  式４：逆演算子表記
#ceq(e)
  ⇔ $$ y $ = $ e^{-ax} \!\!\int\!\! e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  式５：通常表記に復元
#ceq(end)

%bodynote
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* まとめ・つなぎ [#k10d2cbf]

;,$$ D $ = $ \ddd{}{x} $$と置けば１階線形常微分方程式を$$ (D+a) $ y $ = $ R $$に書き換えるのは容易だろう。
;,その先、$$ (D+a)^{-1} $ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と答えを丸暗記するよりは、
;,段階的に$$ E_a^{-1} $ D $ E_a $ y $ = $ R $$と分解してから個別に逆演算に直す方が覚えやすく、
;,$$ D $ E_a $ y $ = $ E_a $ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $$を経ての$$ D $$と覚える方が理屈を付けやすいだろう。

;,$$ D+a $$に対し$$ E_a $$と$$ D $$しか登場しなければ、$$ E_a^{-1} $$と$$ E_a $$の順番を覚える必要が無くなる。
;,小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」などは、混乱の元でしか無い。

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定数係数１階線形常微分方程式 のバックアップの現在との差分(No.5)

定数係数１階線形常微分方程式のバックアップの現在との差分(No.5)
