定数係数１階線形常微分方程式のバックアップ(No.6)

$\ddd{y}{x} + ay = R$

定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
ここで、 $$ y $$ と $$ R $$ は $$ x $$ の関数 $$ y(x) $$ と $$ R(x) $$ で、 $$ a $$ は $$ x $$ の定数 $a\overline{(x)}$ *1である。
解の公式は積分式で与えられる：

$\ddd{y}{x} + ay = R$ 　　⇒　　 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax} R dx$ *2

暗記さえできれば、定数係数の１階で線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
しかし問題は、定数係数１階線形常微分方程式は、場合分けで暗記しにくい定数係数２階線形常微分方程式に繋がるものの、
丸暗記では応用が利かず、２階で多くの学習時間を浪費することになる。

これらに対し、凌宮数学では、２階ないし $$ N $$ 階の定数係数常微分方程式にも繋がるように、
定数係数１階線形常微分方程式について、もう少し納得しやすく、かつ、応用の利く解き方の考え方を与える。

*1 $a\overline{(x)}$ は凌宮数学の定数表記であり、 $\ddd{a}{x}$ $$ = $$ $$ 0 $$

を表す。
*2

$e^{-ax}$ $\Big($ $\int$ $e^{ax} R dx$ $$ + $$ $$ C $$ $\Big)$ と積分定数を明示する書き方もあるが、式が煩雑になるため凌宮数学では使わない。

$\ddd{F}{x}$ 　⇔　 $\int f dx$ *3

上記は常微分と不定積分の変換式であるが、微分方程式から微分を無くし、積分を作るのに役立つ。
$\ddd{y}{x} + ay = R$ の場合は、左辺を $\ddd{F}{x}$ の形に変換できれば、積分に変換できる。

左辺である $\ddd{y}{x} + ay$ の特徴は、 $\ddd{y}{x}$ と $$ y $$ と加算となっている。
大学１年までに学ぶ微分公式を総当りで探しても、この３つが出揃うのは積の微分ぐらいである：

　　 $\ddd{(pq)}{x}$ $$ = $$ $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ *4

しかし、左辺を $1 \ddd{y}{x} + ay$ と見なして $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ と比較しても、
$$ y = q $$ は良いとして、 $$ 1 $$ $$ = $$ $$ p $$ と $$ a $$ $$ = $$ $\ddd{p}{x}$ を同時に満たせない*5。