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* $$ \ddd{y}{x} + ay = f $$ [#u62f0746]
* $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ [#u62f0746]

;,定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
;,ここで、$$ y $$と$$ f $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ f(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$(($$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $ = $ 0 $$を表す。))である。
;,ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$(($$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $ = $ 0 $$を表す。))である。
;,解の公式は積分式で与えられる：
#ceq(e)
    $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$　　⇒　　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} R dx $$(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} R dx $ + $ C $ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、式が煩雑になるため凌宮数学では使わない。))
#ceq(end)

;,暗記さえできれば、定数係数の１階で線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
;,しかし問題は、定数係数''１''階線形常微分方程式は、場合分けで暗記しにくい定数係数''２''階線形常微分方程式に繋がるものの、
;,丸暗記では応用が利かず、''２''階で多くの学習時間を浪費することになる。

;,これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の定数係数常微分方程式にも繋がるように、
;,定数係数１階線形常微分方程式について、もう少し納得しやすく、かつ、応用の利く解き方の''考え方''を与える。

//;,変数の方程式は変数$$ x $$についての等式になっていて、等式が成立つ$$ x $$の値を求めるが、
//;,微分方程式は変数$$ x $$についての恒等式になっていて、等式が成立つ$$ y(x) $$の関係を求める。
//;,$$ x $$や$$ y $$の値を決めるワケでは無いので、微分方程式解くことは微分を無くす式変形に相当する。

//;,名前の右側から読み解くと、常微分とは$$ \ddd{^ny}{x^n} $$に関する方程式を意味する。
//;,線形とは係数$$ a_n $$と微分の積和式$$ \sum_{n=1}^{N} $ a_n $ \ddd{^ny}{x^n} $$である。
//;,１階とは$$ N = 1 $$、定数係数とは$$ a_n $$が$$ x $$の定数$$ a_n\overline{(x)} $$を意味する。

;,方程式$$ \ddd{y}{x} + ay = f $$の解は、次の積分を計算すれば得られる：
%bodynote

* $$ \ddd{F}{x} $ = $ f $$　⇔　$$ F $ = $ \int f dx $$(($$ F $ = $ F(x) $$、$$ f $ = $ f(x) $$。)) [#e8d058b2]
;,上記は常微分と不定積分の変換式であるが、微分方程式から微分を無くし、積分を作るのに役立つ。
;,$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の場合は、左辺を$$ \ddd{F}{x} $$の形に変換できれば、積分に変換できる。

;,左辺である$$ \ddd{y}{x} + ay $$の特徴は、$$ \ddd{y}{x} $$と$$ y $$と加算となっている。
;,大学１年までに学ぶ微分公式を総当りで探しても、この３つが出揃うのは''積の微分''ぐらいである：
#ceq(e)
    $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} f dx $$(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} f dx $ + $ C $ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、式が煩雑になるため凌宮数学では使わない。))
　　$$ \ddd{(pq)}{x} $ = $ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$(($$ p $ = $ p(x) $$、$$ q $ = $ q(x) $$。))
#ceq(end)
;,この積分式は定数係数１階線形上微分方程式の解の''公式''と呼ばれる物で、
;,暗記してしまえば、定数係数の１階で線形な常微分方程式であれば、とりあえず解けることになる。
;,しかし、左辺を$$ 1 \ddd{y}{x} + ay $$と見なして$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較しても、
;,$$ y = q $$は良いとして、$$ 1 $ = $ p $$と$$ a $ = $ \ddd{p}{x} $$を同時に満たせない(($$ 1 $ = $ p $$の時点で$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となってしまうため、$$ a $ = $ \ddd{p}{x} $$が成り立つのは$$ a $ = $ 0 $$の場合に限られる。))。

;,問題は、指数部の符号が紛らわしいため、丸ごと覚えるには向かない煩雑さである。
;,少し丁寧な解き方では$$ f $$を無視した同時方程式から解くとか、定数を変数と見なしてみるとか、一見非論理的な手法で解く。


;,そして、定数係数''２''階線形常微分方程式に繋がるが、丸暗記では応用が利かない。

;,そこで、凌宮数学では、２階を含んだ$$ N $$階の定数係数常微分方程式も視野に入れ、
;,定数係数１階線形常微分方程式について、もう少し納得しやすく、かつ、応用の利く解き方を与える。



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