定数係数１階線形常微分方程式のバックアップ(No.9)

$\ddd{y}{x} + ay = R$

定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
ここで、 $$ y $$ と $$ R $$ は $$ x $$ の関数 $$ y(x) $$ と $$ R(x) $$ で、 $$ a $$ は $$ x $$ の定数 $a\overline{(x)}$ *1である。
解の公式は積分式で与えられる：

$\ddd{y}{x} + ay = R$ 　　⇒　　 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax} R dx$ *2

暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
しかし問題は、丸暗記では既習や未習の知識と繋がりを持たず、全体を効率良く学べない。
特に、直後に学ぶ定数係数２階線形常微分方程式は、１階を応用すれば難しい暗記が不要になる。

これらに対し、凌宮数学では、２階ないし $$ N $$ 階の定数係数常微分方程式に繋がるような、
学習済み知識に基づいた定数係数１階線形常微分方程式のもう少し考え易い解き方を与える。

*1 $a\overline{(x)}$ は凌宮数学の定数表記であり、 $\ddd{a}{x}$ $$ = $$ $$ 0 $$

を表す。
*2

$e^{-ax}$ $\Big($ $\int$ $e^{ax} R dx$ $$ + $$ $$ C $$ $\Big)$ と積分定数を明示する書き方もあるが、煩雑のため凌宮数学では使わない。

$\ddd{F}{x}$ 　⇔　 $\int f dx$ *3

上記は常微分と不定積分の変換式であるが、１つの微分にできれば積分で解けることを意味する。
$\ddd{y}{x} + ay = R$ の場合は、左辺を $\ddd{F}{x}$ の形に纏まると、積分で解ける。

左辺である $\ddd{y}{x} + ay$ の特徴は、「 $\ddd{y}{x}$ 」、「 $$ y $$ 」、「加算」である。
大学１年までに学ぶ微分公式を総当りで探しても、この３つが出揃うのは積の微分ぐらいである：

$\ddd{(pq)}{x}$ $$ = $$ $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ *4

左辺を $1 \ddd{y}{x} + ay$ として $$ p $$ $\ddd{q}{x}$ $$ + $$ $\ddd{p}{x}$ $$ q $$ と比較すると、 $$ y = q $$ が上手く嵌るものの、
残念ながら $$ 1 $$ $$ = $$ $$ p $$ と $$ a $$ $$ = $$ $\ddd{p}{x}$ を同時に満たす $$ p $$ は存在しない*5。