定数係数２階線形常微分方程式/Dx44y=0 のバックアップ差分(No.1)

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* $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 4 $ y $ = $ 0 $$ [#e7e25463]
** 微分方程式が同次形、特性方程式が重根１つの場合 [#bc06d31f]

#ceq(e)
    $$ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{y}{x} $ + $ 3 $ y $ = $ 0 $$
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 4 $ \ddd{}{x} $ + $ 4 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$
#ceq(a)
    式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg) $ y $ = $ 0 $$
#ceq(a)
    式2： 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1\!\!} \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ 2 $ \bigg)^{\!\!-1} $ 0 $ dx $$
#ceq(a)
    式3： 逆演算子表記
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $ \cdot $ 0 $ dx $ dx $$
#ceq(a)
    式4： 逆演算子を積分に置換
    ((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
    ⇔ $$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int $ 0 $ dx^2 $$
#ceq(a)
    式5： ２階の積分式
#ceq(end)
;,以下からは具体的な積分計算が始まる。
#ceq(e)
    $$ y $ = $ e^{-2x} $ \int\!\!\!\!\int $ 0 $ dx^2 $$
#ceq(e)
    　$$ = $ e^{-2x} $ \int $ \bigg[ $ C_1 $ + 0 $ \bigg] $ dx $$
#ceq(e)
    　$$ = $ C_1 $ e^{-2x} $ \int $ 1 $ dx $$
#ceq(a)
    式6： 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数
#ceq(e)
    　$$ = $ C_1 $ e^{-2x} $ \bigg[ $ C_2 $ + $ x $ \bigg] $$
#ceq(e)
    　$$ = $ $ C_1 $ C_2 $ e^{-2x} $ + $ C_1 $ x $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
    式7： 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数
#ceq(end)
;,ここで、$$ c_1 $ = $ C_1 $ C_2 $$、$$ c_2 $ = $ C_1 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。
;,また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形も好まれる。
#ceq(e)
    $$ y $ = $ c_1 $ e^{-2x} $ + $ c_2 $ x $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
    式8： 積和形の一般解
#ceq(e)
    $$ y $ = $ ( $ c_1 $ + $ c_2 $ x $ ) $ e^{-2x} $$
#ceq(a)
    式9： 和積形の一般解
#ceq(end)

%bodynote
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