凌宮読取術：$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ a\ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ by $$$$ = $$$$ f $$ ⇒ $$ \begin{cases} \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) g = f \\ \Big(\ddd{}{x} + \beta\Big) y = g \end{cases} $$ EditToHeaderToFooter

定数係数の２階線形常微分方程式は運動力学や電磁気学で支配方程式として現れるため、
比較的早い段階で「特性方程式＆定数変化法＆ロースキアン」による解法が学生に叩き込まれる。

問題は、この方法は謂わば「解のパターンが分かる前提で答えを組み立てる」手法であり、
１階線形常微分方程式を習うまでに使ってきた「既存の知識から公式を導く」手法とは大きく異なる。
その分、一から覚える知識が多く、解法が成り立つ理由づけが得られず、消化不良となりやすい。

これに対し、凌宮数学では、簡単な式変形をし、直前に学ぶ１階線形常微分方程式に還元して解く。

$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ a\ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ by $$$$ = $$$$ f $$

⇒ $$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $$$$ \Big(\ddd{}{x} + \beta\Big) $$$$ y $$$$ = $$$$ f $$

線形常微分演算の因数分解

⇒ $$ \begin{cases} \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) g = f \\ \Big(\ddd{}{x} + \beta\Big) y = g \end{cases} $$

２つの１階線形常微分方程式

線形常微分演算の因数分解 EditToHeaderToFooter

最初の読み替えから演算子部を取り出すと、因数分解した形の式が現れる：

$$ \ddd{^2}{x^2} $$$$ + $$$$ a\ddd{}{x} $$$$ + $$$$ b $$ ⇒ $$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $$$$ \Big(\ddd{}{x} + \beta\Big) $$

読み替えが可能な理由は常微分の線形性によるが、右側の展開で簡単に確認できる。

$$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $$$$ \Big(\ddd{}{x} + \beta\Big) $$

＝ $$ \Big(\ddd{}{x}\Big)^2 $$$$ + $$$$ \alpha $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ \beta $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ \alpha $$$$ \beta $$

$$ \beta $$が定数係数であるため、$$ \beta $$と$$ \ddd{}{x} $$は交換可能

＝ $$ \ddd{^2}{x^2} $$$$ + $$$$ (\alpha + \beta) $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ \alpha $$$$ \beta $$

⇒ $$ \ddd{^2}{x^2} $$$$ + $$$$ a $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ b $$

$$ a $$$$ \equiv $$$$ \alpha + \beta $$、$$ b $$$$ \equiv $$$$ \alpha $$$$ \beta $$

ここで、重要なのは$$ a $$$$ = $$$$ \alpha + \beta $$かつ$$ b $$$$ = $$$$ \alpha $$$$ \beta $$という関係であり、
実際$$ a $$と$$ b $$から$$ \alpha $$と$$ \beta $$を求めるには、$$ \lambda $$についての二次方程式$$ \lambda^2 $$$$ + $$$$ a $$$$ \lambda $$$$ + b $$$$ = $$$$ 0 $$を解けば良い。

連立１階線形常微分方程式 EditToHeaderToFooter

因数分解形から連立一階形への変形は、$$ \Big(\ddd{}{x} + \beta\Big) $$$$ y $$を$$ g $$と置いただけである。
そうすれば、置き換えられた式も、置く$$ g $$の定義式自体も、自ずと１階線形常微分方程式となる。

$$ \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) $$$$ \iro[ao]{\Big(\ddd{}{x} + \beta\Big)} $$$$ \iro[ao]{y} $$$$ = $$$$ f $$　　⇒　　$$ \begin{cases} \Big(\ddd{}{x} + \alpha\Big) \iro[ao]{g} = f \\ \iro[ao]{\Big(\ddd{}{x} + \beta\Big) y} = \iro[ao]{g} \end{cases} $$

実際、連立も名ばかりのもので、上の式に$$ y $$が無いため、先に$$ g $$から解けば良い。

解の公式 EditToHeaderToFooter

１階線形常微分の解より、連立した２式の解はそれぞれ次のようになる：

$$ \Big( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ \alpha $$$$ \Big) $$$$ g $$$$ = $$$$ f $$　　⇒　　$$ f $$$$ = $$$$ e^{-{\alpha}x} $$$$ \int $$$$ e^{{\alpha}x} $$$$ g $$$$ dx $$

$$ \Big( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ \beta $$$$ \Big) $$$$ y $$$$ = $$$$ g $$　　⇒　　$$ g $$$$ = $$$$ e^{-{\beta}x} $$$$ \int $$$$ e^{{\beta}x} $$$$ y $$$$ dx $$

下式を上式に代入して$$ g $$を消せば、解の公式が得られる：

$$ f $$$$ = $$$$ e^{-{\alpha}x} $$$$ \int $$$$ e^{{\alpha}x} $$$$ \Big( $$$$ e^{-{\beta}x} $$$$ \int $$$$ e^{{\beta}x} $$$$ y $$$$ dx $$$$ \Big) $$$$ dx $$

この公式を解けば、２つの不定積分で計２つの積分定数が現われて２つの一般解を作る。残りの本体が特殊解となる。
定番の解法に対する最大の特徴は、同次・斉次の場合分けも無ければ、一般解の場合分けも無い点である。
どちらも積分対象の値に応じて積分結果の形が自動的に変わるため、値で場合分けを実現している。

以下に、積和形の公式と定番手法の場合分けの対応例を示す。

【執筆中】 EditToHeaderToFooter

  • $$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ y $$$$ = $$$$ 0 $$
  • $$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ y $$$$ = $$$$ 0 $$
  • $$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 5 $$$$ y $$$$ = $$$$ 0 $$
  • $$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{2x} $$
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