定数係数４階線形常微分方程式 のバックアップ差分(No.2)

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  • 1 (2022.0315 (火) 2329.3900)
  • 2 (2022.0316 (水) 0019.1200)
  • 3 (2022.0316 (水) 0112.0000)
  • 4 (2022.0316 (水) 0138.1200)
  • 5 (2022.0316 (水) 0238.3400)
  • 6 (2022.0316 (水) 1534.5200)
  • 7 (2022.0316 (水) 1634.2500)
  • 8 (2022.0316 (水) 1738.4400)
  • 9 (2022.0316 (水) 1837.3700)
  • 10 (2022.0316 (水) 1941.0500)
  • 11 (2022.0316 (水) 2012.5700)

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* $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$ [#h5110f25]
** 固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形 [#v202bc40]
* $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$ [#x9c811dd]
** 固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形 [#ma57b62c]


#ceq(e)
    $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ + $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$
    　　　 $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2}{x^2} $ + $ 2 $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ y = $ e^{2x} $$
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ y = $ e^{2x} $$
#ceq(a)
    式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ \:i $ \bigg)\!\!\!\!\bigg( $ \ddd{^3}{x^3} $ + $ \:i $ \bigg)\!\!\!\!\bigg( $ \ddd{^2}{x^2} $ - $ 1 $ \bigg)^2 $ y = $ e^{2x} $$
    ⇔ 　　　$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg) $ $ y = $ e^{2x} $$
#ceq(a)
    式2： 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
    ⇔ $$ y = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1} $ e^{2x} $$
#ceq(a)
    式3： 逆演算子表記
#ceq(e)
    ⇔ $$ y = $ \bigg( $ e^{\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{-\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-x} \!\!\int\! e^{x}\, $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-x} \!\!\int\! e^{x}\, $ \bigg) $ $ e^{2x} $ dx^4 $$
#ceq(a)
    式4： 逆演算子を積分に置換
    ((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
    ⇔ $$ y = $ e^{\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{-2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{\:ix-x} $ \cdot \!\!\int\!\! \cdot \!\!\int\! e^{3x} $ dx^4 $$
#ceq(a)
    式5： ４回の逐次積分
#ceq(d)

;,以下からは具体的な積分計算が始まる。




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