定数係数４階線形常微分方程式 のバックアップソース(No.5)

• バックアップ一覧
• 差分 を表示
• 現在との差分 を表示
• 現在との差分 - Visual を表示
• バックアップ を表示
• 定数係数４階線形常微分方程式 へ行く。
  • 1 (2022.0315 (火) 2329.3900)
  • 2 (2022.0316 (水) 0019.1200)
  • 3 (2022.0316 (水) 0112.0000)
  • 4 (2022.0316 (水) 0138.1200)
  • 5 (2022.0316 (水) 0238.3400)
  • 6 (2022.0316 (水) 1534.5200)
  • 7 (2022.0316 (水) 1634.2500)
  • 8 (2022.0316 (水) 1738.4400)
  • 9 (2022.0316 (水) 1837.3700)
  • 10 (2022.0316 (水) 1941.0500)
  • 11 (2022.0316 (水) 2012.5700)

%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$ [#b8d6fbba]
** 固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形 [#u186bd16]

#ceq(e)
    　　　 $$ \ddd{^4y}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3y}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2y}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{y}{x} $ + $ y $ = $ e^{2x} $$
#ceq(e)
    ⇔ $$ \bigg( $ \ddd{^4}{x^4} $ - $ 2 $ \ddd{^3}{x^3} $ + $ 2 $ \ddd{^2}{x^2} $ - $ 2 $ \ddd{}{x} $ + $ 1 $ \bigg) $ y = $ e^{2x} $$
#ceq(a)
    式1： 線形常微分演算子化
#ceq(e)
    ⇔ 　　　$$ \bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)\;\;\bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg) $ $ y = $ e^{2x} $$
#ceq(a)
    式2： 線形常微分演算子の因数分解
#ceq(e)
    ⇔ $$ y = $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ \:i $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1}\!\bigg( $ \ddd{}{x} $ - $ 1 $ \bigg)^{\!-1} $ e^{2x} $$
#ceq(a)
    式3： 逆演算子表記
#ceq(e)
    ⇔ $$ y = $ \bigg( $ e^{\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{-\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix} $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-x} \!\!\int\! e^{x}\, $ \bigg)\;\;\bigg( $ e^{-x} \!\!\int\! e^{x}\, $ \bigg) $ $ e^{2x} $ dx^4 $$
#ceq(a)
    式4： 逆演算子を積分に置換
    ((１階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $ + $ k $ y $ = $ h $$ ⇔ $$ y $ = $ e^{-kx} $ \int $ e^{-kx} $ h $ dx $$))
#ceq(e)
    ⇔ $$ y = $ e^{\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{-2\:ix} $ \cdot \!\!\int\!\! e^{\:ix-x} $ \cdot \!\!\int\!\! \cdot \!\!\int\! e^{3x} $ dx^4 $$
#ceq(a)
    式5： ４回の逐次積分
#ceq(d)

;,以下からは具体的な積分計算が始まる。$$ C_\ast $$は全て積分定数。

#ceq(e)
    $$ y_1 $ = $ \int\! e^{3x} $ dx $$
#ceq(e)
    　　$$ = $ C_1 $ + $ \ffd13 $ e^{3x} $$
#ceq(d)

#ceq(e)
    $$ y_2 $ = $ \int\! $ y_1 $ dx $ = $ \int\! $ \bigg( $ C_1 $ + $ \ffd13 $ e^{3x} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
    　　$$ = $ C_2 $ + $ C_1 $ x $ + $ \ffd19 $ e^{3x} $$
#ceq(d)

#ceq(e)
    $$ y_3 $ = $ \int\! $ e^{\:ix-x} $ y_2 $ dx $ = $ \int\! $ e^{\:ix-x} $ \bigg( $ C_2 $ + $ C_1 $ x $ + $ \ffd19 $ e^{3x} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
    　　$$ = $ \int\! $ \bigg( $ C_2 $ e^{\:ix-x} $ + $ C_1 $ x $ e^{\:ix-x} $ + $ \ffd19 $ e^{\:ix+2x} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
    　　$$ = $ C_3 $ + $ \ffd{C_2}{\:i-1} $ e^{\:ix-x} $ + $ \ffd{C_1}{\:i - 1} $ x $ e^{\:ix-x} $ - $ \ffd{C_1}{(\:i - 1)^2} $ e^{\:ix-x} $ + $ \ffd1{9(\:i+2)} $ e^{\:ix+2x} $$
    　| (($$ \int $ xe^{ax} $ dx $ = $ \ffd1a $ xe^{ax} $ - $ \ffd1{a^2} $ e^{ax} $ + C $$))
#ceq(d)

#ceq(e)
    $$ y_4 $ = $ \int\! $ e^{-2\:ix} $ y_3 $ dx $$
#ceq(e)
    　　$$ = $ \int\! $ e^{-2\:ix} $ \bigg( $ C_3 $ + $ \ffd{C_2}{\:i-1} $ e^{\:ix-x} $ + $ \ffd{C_1}{\:i - 1} $ x $ e^{\:ix-x} $ - $ \ffd{C_1}{(\:i - 1)^2} $ e^{\:ix-x} $ + $ \ffd1{9(\:i+2)} $ e^{\:ix+2x} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
    　　$$ = $ \int\! $ \bigg( $ C_3 $ e^{-2\:ix} $ + $ \ffd{C_2}{\:i-1} $ e^{-\:ix-x} $ + $ \ffd{C_1}{\:i - 1} $ x $ e^{-\:ix-x} $ - $ \ffd{C_1}{(\:i - 1)^2} $ e^{-\:ix-x} $ + $ \ffd1{9(\:i+2)} $ e^{-\:ix+2x} $ \bigg) $ dx $$
#ceq(e)
    　　$$ = $ C_4 $ + $ \ffd{C_3}{-2\:i} $ e^{-2\:ix} $ + $ \ffd{C_2}{(\:i-1)(-\:i-1)} $ e^{-\:ix-x} $$
        $$ + $ \ffd{C_1}{\:i - 1} $ \bigg( $ \ffd1{-\:ix-x} $ x $ e^{-\:ix-x} $ - $ \ffd1{(-\:ix-x)^2} $ e^{-\:ix-x} $ \bigg) $$
        $$ - $ \ffd{C_1}{(\:i - 1)^2(-\:i-1)} $ e^{-\:ix-x} $ + $ \ffd1{9(\:i+2)(-\:i+2)} $ e^{-\:ix+2x} $$
#ceq(d)



////////////////////////////////////////////////////////////////




%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////