定数係数４階線形常微分方程式のバックアップ(No.6)

$\ddd{^4y}{x^4}$ $\ddd{^3y}{x^3}$ $\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{2x}$

固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形

$\ddd{^4y}{x^4}$ $\ddd{^3y}{x^3}$ $\ddd{^2y}{x^2}$ $\ddd{y}{x}$ $e^{2x}$
⇔ $\bigg($ $\ddd{^4}{x^4}$ $\ddd{^3}{x^3}$ $\ddd{^2}{x^2}$ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ $e^{2x}$	式1：線形常微分演算子化
⇔ 　　　 $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)\;\;\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)$ $e^{2x}$	式2：線形常微分演算子の因数分解
⇔ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)^{\!-1}\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\:i$ $\bigg)^{\!-1}\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!-1}\!\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)^{\!-1}$ $e^{2x}$	式3：逆演算子表記
⇔ $\bigg($ $e^{-\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{\:ix}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $e^{\:ix} \!\!\!\int\!\! e^{-\:ix}$ $\bigg)\;\;\bigg($ $e^{x} \!\!\int\! e^{-x}\,$ $\bigg)\;\;\bigg($ $e^{x} \!\!\int\! e^{-x}\,$ $\bigg)$ $e^{2x}$	式4：逆演算子を積分に置換*1
⇔ $e^{-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{2\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! e^{x-\:ix}$ $\cdot \!\!\int\!\! \cdot \!\!\int\! e^{x}$	式5：４回の逐次積分

*1 １階線形常微分方程式の解を利用： $\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ k $$

⇔

$e^{-kx}$ $\int$ $e^{kx}$ $$ h $$

以下からは具体的な積分計算が始まる。 $C_\ast$ は全て積分定数。

$$ y_1 $$ $$ = $$ $\int\! e^{x}$ $$ dx $$

　　 $$ = $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$

$$ y_2 $$ $$ = $$ $\int\!$ $$ y_1 $$ $$ dx $$ $$ = $$ $\int\!$ $\bigg($ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $\bigg)$

　　 $$ = $$ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ C_2 $$

$$ y_3 $$ $$ = $$ $\int\!$ $e^{x-\:ix}$ $$ y_2 $$ $$ dx $$ $$ = $$ $\int\!$ $e^{x-\:ix}$ $\bigg($ $e^{x}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ C_2 $$ $\bigg)$

　　 $$ = $$ $\int\!$ $\bigg($ $e^{2x-\:ix}$ $$ + $$ $$ C_1 $$ $$ x $$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $$ C_2 $$ $e^{x-\:ix}$ $\bigg)$ $$ dx $$

　　 $$ = $$ $\ffd1{2-\:i}$ $e^{2x-\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $$ x $$ $e^{x-\:ix}$ $$ - $$ $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2}$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_2}{1-\:i}$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $$ C_3 $$ 　| *2

$$ y_4 $$ $$ = $$ $\int\!$ $e^{2\:ix}$ $$ y_3 $$ $$ dx $$

　　 $$ = $$ $\int\!$ $e^{2\:ix}$ $\bigg($ $\ffd1{2-\:i}$ $e^{2x-\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $$ x $$ $e^{x-\:ix}$ $$ - $$ $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2}$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_2}{1-\:i}$ $e^{x-\:ix}$ $$ + $$ $$ C_3 $$ $\bigg)$ $$ dx $$

　　 $$ = $$ $\int\!$ $\bigg($ $\ffd1{2-\:i}$ $e^{2x+\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $$ x $$ $e^{x+\:ix}$ $$ - $$ $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2}$ $e^{x+\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_2}{1-\:i}$ $e^{x+\:ix}$ $$ + $$ $$ C_3 $$ $e^{2\:ix}$ $\bigg)$ $$ dx $$

　　 $$ = $$ $\ffd1{(2-\:i)(2+\:i)}$ $e^{2x+\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_1}{1-\:i}$ $\bigg($ $\ffd1{1+\:i}$ $$ x $$ $e^{x+\:ix}$ $$ - $$ $\ffd1{(1+\:i)^2}$ $e^{x+\:ix}$ $\bigg)$
　　　　　　 $$ - $$ $\ffd{C_1}{(1-\:i)^2(1+\:i)}$ $e^{x+\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_2}{(\:i-1)(\:i+1)}$ $e^{x+\:ix} +$ $\ffd{C_3}{2\:i}$ $e^{2\:ix}$ $$ + $$ $$ C_4 $$

　　 $$ = $$ $$ C_4 $$ $$ + $$ $\ffd{C_3}{-2\:i}$ $e^{-2\:ix}$ $$ + $$ $\ffd{C_2}{(\:i-1)(-\:i-1)}$ $e^{-\:ix-x}$
　　　　　　 $$ + $$ $\ffd{C_1}{\:i - 1}$ $\bigg($ $\ffd1{-\:i-1}$ $$ x $$ $e^{-\:ix-x}$ $$ - $$ $\ffd1{(-\:i-1)^2}$ $e^{-\:ix-x}$ $\bigg)$ $$ - $$ $\ffd{C_1}{(\:i-1)^2(-\:i-1)}$ $e^{-\:ix-x}$
　　　　　　 $$ + $$ $\ffd1{9(\:i+2)(-\:i+2)}$ $e^{-\:ix+2x}$

*2 部分積分により $\int$ $xe^{ax}$ $$ dx $$ $$ = $$ $\ffd1a$ $xe^{ax}$ $$ - $$ $\ffd1{a^2}$ $e^{ax}$ $$ + C $$

定数係数４階線形常微分方程式 のバックアップ(No.6)

固有値が重根１つ、虚根２つ、非同次形

定数係数４階線形常微分方程式のバックアップ(No.6)