二進算術/減算 のバックアップソース(No.5)

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* 直接減算 [#ya8845eb]
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** 1桁の減算 [#sedd8c20]
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;,1桁の減算は以下の4通り。
- $$ 1 $ - $ 0 $ = $ \,\,1 $$
- $$ 0 $ - $ 0 $ = $ \,\,0 $$
- $$ 1 $ - $ 1 $ = $ \,\,0 $$
- $$ 0 $ - $ 1 $ = $ ^/1 $$　　（上位桁で桁下がり）
                                                     
;,減数が$$ 0 $$の場合は被乗数のまま、減数が1の場合は被乗数が$$ 01 $$反転になる。
;,$$ 0 $ - $ 1 $$の場合は上位桁が下がる。

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** 繰り下がり無し減算 [#m271657b]

;,複数桁の減算は右から桁毎に減算する。
;,$$ 0 $$から$$ 1 $$を引かない限り、桁毎に順番に減算するだけで済む。

;,例1：
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\, }      1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;  $$
;,　　$$ \underline{\; -) \;\,        1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;} $$
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\, 1 \;\,   }    1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \;  $$

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** 繰り下がり付き減算 [#iab2345f]


;,$$ 0 $$から$$ 1 $$を引く場合、桁が下がるので左の桁を影響する。
;,桁下がる場合は、被減数を上位方向に辿り、最初の$$ 1 $$まで反転させる。


;,例2：
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\, }                 \overline1 \;\, \;\, \overline1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \overline1 \;\, \;\,  \overline0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \overline1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0  \;  $$
;,　　$$ \underline{\; -) \;\, \phantom{1 \;\, }                 \;\,          1 \;\, 1 \;\, 0 \;\,          0 \;\, \;\,           0 \;\, 1 \;\, 0 \;\,          0 \;\, \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0  \;} $$
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\,          1 \;\, }                 \;\,          1 \;\, 1 \;\, 0 \;\,          0 \;\, \;\,           1 \;\, 1 \;\, 0 \;\,          0 \;\, \;\, 1 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0  \;  $$

$$ \overline0 $$と$$ \overline1 $$はそれぞれ$$ 0 $$と$$ 1 $$の反転を表し、$$ 1 $$と$$ 0 $$を意味する。

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** 繰り下がりによる負の数 [#m9465e93]

;,繰り下がりで被減数を上位方向に辿っても$$ 1 $$が無い場合、負の数となる。
;,負の数は、先頭に$$ 1 $$を卸して、繰り下がりで無数に連なる$$ 1 $$を表す$$ \cdots $$を前に付ける。

;,例3：
;,　　$$             \phantom{\; +) \;\, } \phantom{1 \;\,\, }        \;\, 1 \;\, 1 \;\, \overline0 \;\, 0 \;\, \;\,  0 \;\, 1 \;\, \overline0 \;\,        0 \;\, \;\, \overline1 \;\, \overline1 \;\, 0 \;\, 0  \;  $$
;,　　$$ \underline{          \; -) \;\,                  \,   1 \;\, \;\, 1 \;\, 0 \;\,          0 \;\, 1 \;\, \;\,  0 \;\, 0 \;\,          0 \;\,        1 \;\, \;\,          0 \;\,          1 \;\, 1 \;\, 0  \;} $$
;,　　$$             \phantom{\;    \;   } \cdots              1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\,          1 \;\, 1 \;\, \;\,  0 \;\, 1 \;\,          1 \;\,        1 \;\, \;\,          0 \;\,          1 \;\, 1 \;\, 0  \;  $$

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* 反数減算 [#f482408d]

;,$$ 1 $$からの減算は反転で簡単に求まるため、
;,$$ a $ - $ b $ = $ ( $ a $ + $ 1 $ ) $ + $ ( $ -1 $ - $ b $ ) $$を利用して減算を加算として高速に解ける。
;,$$ -1 $$は補数表現で無数の$$ 1 $$が並ぶので、$$ -1 $ - $ b $$は$$ b $$の反転$$ \overline{\,b\,} $$となる。

例4：

;,　　$$   \phantom{\; +) \;\,         \cdots\,} 1   \;\,\;\,         1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1  \;\, \;\,         0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1  \;\, \;\,         0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0         \;  $$　　　　…… $$  a $$
;,　　$$ \underline{\; -) \;\,\phantom{\cdots\,  1 } \;\,\;\,         1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0  \;\, \;\,         0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0  \;\, \;\,         1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0         \;} $$　　　　…… $$  b $$
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\,         \cdots\,} 1   \;\,\;\,         1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1  \;\, \;\,         0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1  \;\, \;\,         0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \iro[ak]1 \;  $$　　　　…… $$  a $ + $ 1 $$
;,　　$$ \underline{\; +) \;\,         \cdots    1   \;\,\;\,         0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1  \;\, \;\,         1 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1  \;\, \;\,         0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1         \;} $$　　　　…… $$ -1 $ - $ b $ = $ \overline{\,b\,} $$
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\,         \cdots    1 } \;\,\;\,         1 \;\, 1^{1  }0^{1\,}0  \;\, \;\,         1 \;\, 1^{1  }0^{1\,}0  \;\, \;\,         1^{1  }0^{1\,}1^{1  }0         \;  $$

;,反転表記を見慣れたら、反転バーの追記で簡潔に記述できる。
;,なお、減数の上位は反転で無数の$$ 1 $$が連なるが、

例5：
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\,         \cdots\,} 1   \;\,\;\,             1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1  \;\, \;\,           0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1   \;\, \;\,           0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \overline0  \;          $$　　　　…… $$  a $ + $ 1 $$
;,　　$$ \underline{\; \ooalign{\(-\)\crcr{\,/}}) \;\,\overline{\cdots\,  0 } \;\,\;\, \overline{1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0} \;\, \;\, \overline{0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0}  \;\, \;\, \overline{1 \;\, 1 \;\, 0 \;\,          0} \;}         $$　　　　…… $$ -1 $ - $ b $ = $ \overline{\,b\,} $$
;,　　$$   \phantom{\; +) \;\,         \cdots    1 } \;\,\;\,             1 \;\, 1^{1  }0^{1\,}0  \;\, \;\,           1 \;\, 1^{1  }0^{1\,}0   \;\, \;\,           1^{1  }0^{1\,}1^{1  }         0  \;          $$