直接減算 EditToHeaderToFooter

1桁の減算 EditToHeaderToFooter

1桁の減算は以下の4通り。

  • $$ 1 $$$$ - $$$$ 0 $$$$ = $$$$ \,\,1 $$
  • $$ 0 $$$$ - $$$$ 0 $$$$ = $$$$ \,\,0 $$
  • $$ 1 $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ \,\,0 $$
  • $$ 0 $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ ^-1 $$　　（上位桁で繰り下がり）

減数が$$ 0 $$の場合は被乗数のまま、減数が1の場合は被乗数が$$ 01 $$反転になる。
$$ 0 $$$$ - $$$$ 1 $$の場合は上位が繰り下がる。

繰り下がり無し減算 EditToHeaderToFooter

複数桁の減算は右から桁毎に減算する。
$$ 0 $$から$$ 1 $$を引かない限り、桁毎に順番に減算するだけで済む。

例1：
　　$$ \phantom{\; +) \;\, } 1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \; $$
　　$$ \underline{\; -) \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;} $$
　　$$ \phantom{\; +) \;\, 1 \;\, } 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \; $$

繰り下がり付き減算 EditToHeaderToFooter

$$ 0 $$から$$ 1 $$を引く場合、繰り下がるために左の桁を影響する。
繰り下がる場合は、被減数を上位方向に辿り、最初の$$ 1 $$まで反転させる。

例2：
　　$$ \phantom{\; +) \;\, } \overline{1 \;\, \;\, 1} \;\, 0 \;\, 0 \;\, \overline1 \;\, \;\, \overline0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \overline1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \; $$
　　$$ \underline{\; -) \;\, \phantom{1 \;\, } \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;} $$
　　$$ \phantom{\; +) \;\, 1 \;\, } \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \; $$

$$ \overline0 $$と$$ \overline1 $$はそれぞれ$$ 0 $$と$$ 1 $$の反転を表し、$$ 1 $$と$$ 0 $$を意味する。

繰り下がりによる負の数 EditToHeaderToFooter

繰り下がりで被減数を上位方向に辿っても$$ 1 $$が無い場合、負の数となる。
負の数は、先頭に$$ 1 $$を卸して、繰り下がりで無数に連なる$$ 1 $$を表す$$ \cdots $$を前に付ける。

例3：
　　$$ \phantom{\; +) \;\, } \phantom{1 \;\,\, } \;\, 1 \;\, 1 \;\, \overline0 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, \overline0 \;\, 0 \;\, \;\, \overline1 \;\, \overline1 \;\, 0 \;\, 0 \; $$
　　$$ \underline{ \; -) \;\, \, 1 \;\, \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;} $$
　　$$ \phantom{\; \; } \cdots 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \; $$

反数減算 EditToHeaderToFooter

$$ 1 $$からの減算は反転で簡単に求まるため、
$$ a $$$$ - $$$$ b $$$$ = $$$$ ( $$$$ a $$$$ + $$$$ 1 $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ -1 $$$$ - $$$$ b $$$$ ) $$を利用して減算を加算として高速に解ける。
$$ -1 $$は補数表現で無数の$$ 1 $$が並ぶので、$$ -1 $$$$ - $$$$ b $$は$$ b $$の反転$$ \overline{\,b\,} $$となる。

例4：

　　$$ \phantom{\; +) \;\, \cdots\,} 1 \;\,\;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \; $$　　　　…… $$ a $$
　　$$ \underline{\; -) \;\,\phantom{\cdots\, 1 } \;\,\;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;} $$　　　　…… $$ b $$
　　$$ \phantom{\; +) \;\, \cdots\,} 1 \;\,\;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \iro[ak]1 \; $$　　　　…… $$ a $$$$ + $$$$ 1 $$
　　$$ \underline{\; +) \;\, \cdots 1 \;\,\;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \;\, 1 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;} $$　　　　…… $$ -1 $$$$ - $$$$ b $$$$ = $$$$ \overline{\,b\,} $$
　　$$ \phantom{\; +) \;\, \cdots 1 } \;\,\;\, 1 \;\, 1^{1 }0^{1\,}0 \;\, \;\, 1 \;\, 1^{1 }0^{1\,}0 \;\, \;\, 1^{1 }0^{1\,}1^{1 }0 \; $$

上位で$$ 1 $$と$$ \cdots $$$$ 1 $$が無限に繰り上がって$$ \cdots $$$$ 0 $$になる。

反転表記を見慣れたら、反転バーの追記で簡潔に記述できる。

例5：
　　$$ \phantom{\; +) \;\, \cdots\,} 1 \;\,\;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \overline0 \; $$　　　　…… $$ a $$$$ + $$$$ 1 $$
　　$$ \underline{\; \ooalign{\(-\)\crcr{\,/}}) \;\,\overline{\cdots\, 0 } \;\,\;\, \overline{1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0} \;\, \;\, \overline{0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0} \;\, \;\, \overline{1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0} \;} $$　　　　…… $$ -1 $$$$ - $$$$ b $$$$ = $$$$ \overline{\,b\,} $$
　　$$ \phantom{\; +) \;\, \cdots 1 } \;\,\;\, 1 \;\, 1^{1 }0^{1\,}0 \;\, \;\, 1 \;\, 1^{1 }0^{1\,}0 \;\, \;\, 1^{1 }0^{1\,}1^{1 } 0 \; $$

結果が負になる場合、上位での無限繰り上がりが無く、$$ \cdots $$$$ 1 $$が結果まで降りる。

例6：
　　$$ \phantom{\; +) \;\, \cdots\, 0 \;\, 1 } \;\,\;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \; $$
　　$$ \underline{ \; -) \;\, \phantom{\cdots\, 0 \;\, } 1 \;\,\;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;} $$
　　$$ \phantom{\; +) \;\, \cdots\, 0 \;\, 1 } \;\,\;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 0 \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, \iro[ak]1 \; $$
　　$$ \underline{ \; +) \;\, \cdots\, 1 \;\, 0 \;\,\;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 0 \;\, \;\, 1 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;} $$
　　$$ \phantom{\; +) \;\, } \cdots\, 1 \;\, 1 ^{1 }\;\, 0^{1\,}0 \;\, 1 \;\, 1^{1 } \;\, 0^{1\,}0 \;\, 1 \;\, 1^{1 } \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1^{1\,} 0 \; $$
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