【執筆中】 EditToHeaderToFooter

凌宮読取術：$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ F(x_0) $$$$ - $$$$ F(x_n) $$　⇒　$$ \sum dF_i $$$$ = $$$$ \gDl F $$ EditToHeaderToFooter

微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる定積分と原始関数を結ぶ関係式がある。

$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ F(x_0) $$$$ - $$$$ F(x_n) $$

ここで、$$ \ddd{F}{x} $$は$$ F(x) $$の導関数であり、$$ F(x) $$は$$ \ddd{F}{x} $$の原始関数である*1。

一般に高校では、微分は被微分関数の傾きとして、積分は被積分関数の面積として教えられる。
これに対し、上記の微分積分の基本公式では、被微分関数は$$ F $$、被積分関数は$$ \ddd{F}{x} $$の関係にあり、
微分と積分がそれぞれ同時に特定の関数の傾きと面積になるのは一般的ではない。

このため、

  • 背景３：　現在、積分は区分求積ではなく微分の逆操作として導入しているゆえ、微分積分学の基本公式が区分求積抜きで登場する。
  • 背景４：　幾何的意味では区分求積に基づくグラフを用いて説明される
  • 問題１：　区分求積に使う図では、積分は面積を表すが、微分は傾きを表してない。
  • 問題２：　微分が傾きを表す図での説明が見ない。
  • 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
    • 手順１：　２点の差を考える
    • 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
    • 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。
    • 手順４：　関数を考える
    • 手順５：　手順１〜３を繰り返す
  • 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
    • 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
  • 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い
*1 一般的に、$$ \ddd{F}{x} $$を$$ f(x) $$と置き、「$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数」のように書かれる。

作図 EditToHeaderToFooter

  • 座標　$$ \iro[md]{x} $$　$$ \iro[md]{y} $$　$$ \iro[md]{0} $$
  • 差　$$ \iro[ai]{F} $$　$$ \iro[ai]{x_0} $$　$$ \iro[ai]{x_n} $$　$$ \iro[ai]{F_0} $$　$$ \iro[ai]{F_n} $$　$$ \iro[ak]{\gDl F} $$　$$ \iro[ak]{\gDl x} $$
  • 差分　$$ \iro[ai]{x_i} $$　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$　$$ \iro[ai]{F_i} $$　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$　$$ \iro[ak]{\gDl F_i} $$　$$ \iro[ak]{\gDl x_i} $$
  • 微分　$$ \iro[ak]{dF_i} $$　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
  • グラフ
    File not found: "差.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]
    File not found: "差分.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]
    File not found: "微分.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]
fileFx微分.png 644件 [詳細] fileFx差分.png 695件 [詳細] fileFx差.png 663件 [詳細] fileF微分.png 698件 [詳細] fileF差分.png 620件 [詳細] fileF差.png 597件 [詳細] filex微分.png 646件 [詳細] filex差分.png 669件 [詳細] filex差.png 640件 [詳細] fileF対xの微分商.png 2656件 [詳細] fileF対xの差分商.png 2679件 [詳細] fileF対xの差商.png 365件 [詳細] fileFの微分.png 376件 [詳細] fileFの差.png 337件 [詳細] fileFの差分.png 336件 [詳細] filexの微分.png 2627件 [詳細] filexの差分.png 2550件 [詳細] filexの差.png 2599件 [詳細]
    数学 一覧 検索 最新 バックアップ リンク元   ヘルプ   最終更新のRSS