微分積分学の基本公式のバックアップソース(No.13)

%indent

* 【執筆中】 [#k72ad61c]
* 凌宮読取術：$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$　⇒　$$ \sum dF_i $ = $ \gDl F $$ [#qdd169b0]
;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる定積分と原始関数を結ぶ関係式がある。
#ceq(e)
  $$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$
#ceq(end)
;,ここで、$$ \ddd{F}{x} $$は$$ F(x) $$の導関数であり、$$ F(x) $$は$$ \ddd{F}{x} $$の原始関数である
((一般的に、$$ \ddd{F}{x} $$を$$ f(x) $$と置き、「$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数」のように書かれる。))。

;,一般に、微分は被微分関数の傾き、積分は被積分関数の面積として教えられる。
;,ところが、微分積分の基本公式では両立微分の結果を積分するため、両立できない。
;,このため、図による直感的な説明が中々見当たらない。

;,しかしながら、微分積分学の基本公式は、図で直感的に理解できた方が圧倒的に有利になる。
;,微分と積分が傾きや面積など図形概念と直結しているのは理由の１つ目である。
;,２つ目の理由は、後にベクトル解析で学ぶ３大積分公式
  ((勾配の線積分、微分積分の基本公式のベクトル版))
  ((回転の面積分、ストークスの定理))
  ((発散の体積分、ガウスの定理))の習得や挫折に繋がることである。

;,この現状に対し、凌宮数学では微分積分学の基本公式の図による直感的説明を考えた。
;,ポイントは、面積で積分を表すのを諦め、積分のもう一つの図的表現を用いたことである。
;,こっちの方が、そのまま３大積分公式の理解に流用できるため、面積の表現と同様に重要である。

* もう一つの微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の無い微分・積分 [#qe33f31b]
- 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
-- 手順１：　２点の差を考える
-- 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
-- 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。

* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 [#bfea63a1]
-- 手順４：　関数を考える
-- 手順５：　手順１～３を繰り返す

* まとめ [#l61b9098]
- 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
-- 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
- 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

* つなぎ [#g57744a6]


%bodynote

* 作図 [#bb77c072]
- 座標
　$$ \iro[md]{x} $$
　$$ \iro[md]{y} $$
　$$ \iro[md]{0} $$
- 差
　$$ \iro[ai]{F} $$
　$$ \iro[ai]{x_0} $$
　$$ \iro[ai]{x_n} $$
　$$ \iro[ai]{F_0} $$
　$$ \iro[ai]{F_n} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl F} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl x} $$
- 差分
　$$ \iro[ai]{x_i} $$
　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
　$$ \iro[ai]{F_i} $$
　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl F_i} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl x_i} $$
- 微分
　$$ \iro[ak]{dF_i} $$
　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
- グラフ
;,&attachref(./差.png,40%);
;,&attachref(./差分.png,40%);
;,&attachref(./微分.png,40%);
微分積分学の基本公式 のバックアップソース(No.13)

微分積分学の基本公式のバックアップソース(No.13)
