微分積分学の基本公式のバックアップ(No.14)

【執筆中】

凌宮読取術： $\int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx$

微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる定積分と原始関数を結ぶ関係式がある。
$\ddd{F}{x}$ を $$ f(x) $$ と置き、「はの原始関数」のように書かれる。

$\int_{x_0}^{x_n} \!\! f(x) dx$ $$ = $$ $$ F(x_0) $$ $$ - $$ $$ F(x_n) $$

一般に、微分は被微分関数の傾き、積分は被積分関数の面積として教えられる。
ところが、微分積分の基本公式では微分の結果を積分するため、両立できない。
このため、図による直感的な説明が少ない。

しかし、微分と積分が傾きや面積など図形概念と直結している。
また、後に学ぶベクトル解析の３大積分公式*1 *2 *3の習得・挫折にも直結している。
このため、微分積分学の基本公式は、図で直感的に理解できた方が圧倒的に有利になる。

これに対し、凌宮数学では、微分積分学の基本公式の図による直感的説明を考えた。
３大積分公式への繋ぎを考慮し、面積での積分の図示を諦め、
微分と積分のもう一つの図示方法を用いる。

もう一つの微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の無い微分・積分

問題を簡単にするため、まず１つの変数 $$ F $$ だけについて考える。
$$ x $$ 軸上に２点 $$ x_0 $$ と $$ x_n $$ があり、その差を $\Delta x$ $\equiv$ $$ - $$ と定義する。

次に、 $\Delta x$ を任意に分割する。
$$ x_0 $$ から順に分割点を $$ x_1 $$ 、 $$ x_2 $$ 、 $$ x_3 $$ …と名付け、纏めて $$ x_i $$ と表す。ただし、 $$ 0 $$ ≦ $$ i $$ ≦ $$ I $$ *4。
の差を $\delta x_i$ $\equiv$ $x_{i+1}$ $$ - $$ と定義すると、以下の式が分割数 $$ I $$ に関係なく成り立つ。

式１：　 $\sum_{i=0}^{I} \delta x_i$ $$ = $$ $\sum_{i=0}^{I}$ $\Big($ $x_{i+1}$ $$ - $$ $$ x_i $$ $\Big)$ $$ = $$ $$ x_n $$ $$ - $$ $$ x_0 $$ $$ = $$ $\Delta x$

ここで、分割数 $$ I $$ を無限に増やすと、 $\delta x_i$ は限りなく $$ 0 $$ に近づく。
$$ 0 $$ に近づけた $\delta x_i$ を $$ dx $$ と書くと、このが $$ x $$ 全微分と呼ばれるもう一つの微分となる。
式１は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割した場合でも同様の式が成り立つ：

式２：　 $\sum_{i=0}^{\infty} dx$ $$ = $$ $\sum_{i=0}^{\infty}$ $\Big($ $x_{i+1}$ $$ - $$ $$ x_i $$ $\Big)$ $$ = $$ $$ x_n $$ $$ - $$ $$ x_0 $$ $$ = $$ $\Delta x$

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方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
- 手順１：　２点の差を考える
- 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
- 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。

一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分

手順４：　関数を考える
手順５：　手順１～３を繰り返す

まとめ

結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
- 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

つなぎ

*1 勾配の線積分、微分積分の基本公式のベクトル版
*2 回転の面積分、ストークスの定理
*3 発散の体積分、ガウスの定理
*4 $$ I $$

と

には、特別な関係が無く、大小は任意である。

作図

座標　 $\iro[md]{x}$ 　 $\iro[md]{y}$ 　 $\iro[md]{0}$
差　 $\iro[ai]{F}$ 　 $\iro[ai]{x_0}$ 　 $\iro[ai]{x_n}$ 　 $\iro[ai]{F_0}$ 　 $\iro[ai]{F_n}$ 　 $\iro[ak]{\gDl F}$ 　 $\iro[ak]{\gDl x}$
差分　 $\iro[ai]{x_i}$ 　 $\iro[ai]{x_{i+1}}$ 　 $\iro[ai]{F_i}$ 　 $\iro[ai]{F_{i+1}}$ 　 $\iro[ak]{\gDl F_i}$ 　 $\iro[ak]{\gDl x_i}$
微分　 $\iro[ak]{dF_i}$ 　 $\iro[ak]{dx_i}$
グラフ
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微分積分学の基本公式 のバックアップ(No.14)

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一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分

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