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* 【執筆中】 [#k72ad61c]
* 凌宮読取術:$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$ [#se0e5cc6]
;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる定積分と原始関数を結ぶ関係式がある。
;,$$ \ddd{F}{x} $$を$$ f(x) $$と置き、「$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数」のように書かれる。
#ceq(e)
$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$
#ceq(end)
;,一般に、微分は被微分関数の傾き、積分は被積分関数の面積として教えられる。
;,ところが、微分積分の基本公式では微分の結果を積分するため、両立できない。
;,このため、図による直感的な説明が少ない。
;,しかし、微分と積分が傾きや面積など図形概念と直結している。
;,また、後に学ぶベクトル解析の3大積分公式
((勾配の線積分、微分積分の基本公式のベクトル版))
((回転の面積分、ストークスの定理))
((発散の体積分、ガウスの定理))の習得・挫折にも直結している。
;,このため、微分積分学の基本公式は、図で直感的に理解できた方が圧倒的に有利になる。
;,これに対し、凌宮数学では、微分積分学の基本公式の図による直感的説明を考えた。
;,3大積分公式への繋ぎを考慮し、面積での積分の図示を諦め、
;,微分と積分のもう一つの図示方法を用いる。
* もう一つの微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の無い微分・積分 [#qe33f31b]
;,問題を簡単にするため、まず1つの変数$$ F $$だけについて考える。
;,$$ x $$軸上に2点$$ x_0 $$と$$ x_n $$があれば、区間$$ x_0 $〜$ x_n $$ができる。
;,区間$$ x_0 $〜$ x_n $$の長さは2点の差分と呼ぶ、$$ \Delta x $ \equiv $ x_n $ - $ x_0 $$と定義できる。
;,次に、区間$$ x_0 $〜$ x_n $$の$$ N $$等分を考える。
;,各区間の端点を$$ x_i $$と$$ x_{i+1} $$とすると、その差分は$$ \delta x $ \equiv $ x_{i+1} $ - $ x_i $$と定義できる。
;,単純に分割しているため、$$ \delta x $$を繋ぎあわせると必ず$$ \Delta x $$になる。
#ceq(e)
式1: $$ \sum_i \delta x_i $ = $ \Delta x $$((厳密に書くと、$$ \sum_{i=0}^{N-1} \delta x_i $ = $ \Delta x $$になるが、「全ての$$ i $$についての和」という意味を強調するため、表記「$$ \sum_i $$」を用いる。))
#ceq(end)
;,ここで、無限に分割すると、分割数$$ N $$を$$ \infty $$に、$$ \delta x_i $$は$$ 0 $$に近づく。
;,$$ 0 $$に近づけた$$ \delta x_i $$を$$ dx $$と書くと、この$$ dx $$が$$ x $$全微分と呼ばれるもう一つの微分となる。
;,式1は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割した場合でも同様の式が成り立つ:
#ceq(e)
式2: $$ \sum_{i=0}^{\infty} dx $ = $ \Delta x $$
#ceq(end)
要点を簡潔に纏めると、
- 2点$$ x_n $$と$$ x_0 $$の引き算から、差$$ \Delta x $$が得られる。
- 差$$ \Delta x $$を分割していくと、差分$$ \delta x_i $$が得られる。
- 無限に分割してくと$$ \delta x_i $$が$$ 0 $$に近づき全微分$$ dx_i $$が得られる。
;,&attachref(./差.png,40%);
- 方法1: 微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
-- 手順1: 2点の差を考える
-- 手順2: 2点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
-- 手順3: 2点の間を無限に分割し、同上。
* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 [#bfea63a1]
-- 手順4: 関数を考える
-- 手順5: 手順1〜3を繰り返す
* まとめ [#l61b9098]
- 結果1: 積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
-- 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
- 結果2: 区分求積にある「近似誤差が0になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い
* つなぎ [#g57744a6]
%bodynote
* 作図 [#bb77c072]
- 座標
$$ \iro[md]{x} $$
$$ \iro[md]{y} $$
$$ \iro[md]{0} $$
- 差
$$ \iro[ai]{F} $$
$$ \iro[ai]{x_0} $$
$$ \iro[ai]{x_n} $$
$$ \iro[ai]{F_0} $$
$$ \iro[ai]{F_n} $$
$$ \iro[ak]{\gDl F} $$
$$ \iro[ak]{\gDl x} $$
- 差分
$$ \iro[ai]{x_i} $$
$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
$$ \iro[ai]{F_i} $$
$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
$$ \iro[ak]{\gDl F_i} $$
$$ \iro[ak]{\gDl x_i} $$
- 微分
$$ \iro[ak]{dF_i} $$
$$ \iro[ak]{dx_i} $$
- グラフ
;,&attachref(./差分.png,40%);
;,&attachref(./微分.png,40%);