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凌宮読取術：$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_0) $$$$ - $$$$ F(x_n) $$ ⇒ $$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! dF = \Delta F $$ EditToHeaderToFooter

微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
歴史的には、微分法と区分求積法という独立に発展した２つの分野を結ぶ超重要公式である。
また、ベクトル解析で習う多くの積分公式*1*2*3がこの基本公式の延長線上にある。

ところが、図形と密接に繋がっているにも関わらず、この基本公式を図で直観的に説明する例は見ない。
一般に、微分は被微分関数の傾き、積分は被積分関数の面積として教えられるが、
基本公式では微分の結果を積分するため、傾きで微分、面積で積分を同時に表せないのが原因かと思う。

これに対し、凌宮数学では、微分積分学の基本公式の図による直感的説明を考えた。
３大積分公式への繋ぎを考慮し、面積での積分の図示を諦め、
微分と積分のもう一つの図示方法を用いる。

*1 勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ F $$$$ ) $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ F(\:b) $$$$ - $$$$ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名が無い。
*2 回転の面積分：$$ \int_{S}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla \vx \:F $$$$ ) \sx d\:S $$$$ = $$$$ \int_{R} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。
*3 発散の体積分：$$ \int_{V}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ \sx $$$$ \:F $$$$ ) $$$$ dV $$$$ = $$$$ \int_{S} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。

もう一つの微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の無い微分・積分 EditToHeaderToFooter

問題を簡単にするため、まず１つの変数$$ F $$だけについて考える。
$$ x $$軸上に２点$$ x_0 $$と$$ x_n $$があれば、区間$$ x_0 $$$$ 〜 $$$$ x_n $$ができる。
区間$$ x_0 $$〜$$ x_n $$の長さは２点の差分と呼ぶ、$$ \Delta x $$$$ \equiv $$$$ x_n $$$$ - $$$$ x_0 $$と定義できる。

次に、区間$$ x_0 $$〜$$ x_n $$の$$ N $$等分を考える。
各区間の端点を$$ x_i $$と$$ x_{i+1} $$とすると、その差分は$$ \delta x $$$$ \equiv $$$$ x_{i+1} $$$$ - $$$$ x_i $$と定義できる。
単純に分割しているため、$$ \delta x $$を繋ぎあわせると必ず$$ \Delta x $$になる。

式１：　$$ \sum_i \delta x_i $$$$ = $$$$ \Delta x $$*4

ここで、無限に分割すると、分割数$$ N $$を$$ \infty $$に、$$ \delta x_i $$は$$ 0 $$に近づく。
$$ 0 $$に近づけた$$ \delta x_i $$を$$ dx $$と書くと、この$$ dx $$が$$ x $$全微分と呼ばれるもう一つの微分となる。
式１は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割した場合でも同様の式が成り立つ：

式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} dx $$$$ = $$$$ \Delta x $$

要点を簡潔に纏めると、

  • ２点$$ x_n $$と$$ x_0 $$の引き算から、差$$ \Delta x $$が得られる。
  • 差$$ \Delta x $$を分割していくと、差分$$ \delta x_i $$が得られる。
  • 無限に分割してくと$$ \delta x_i $$が$$ 0 $$に近づき全微分$$ dx_i $$が得られる。

File not found: "差.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]

  • 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
    • 手順１：　２点の差を考える
    • 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
    • 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。

一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 EditToHeaderToFooter

  • 手順４：　関数を考える
  • 手順５：　手順１〜３を繰り返す

まとめ EditToHeaderToFooter

  • 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
    • 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
  • 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

つなぎ EditToHeaderToFooter

*4 厳密に書くと、$$ \sum_{i=0}^{N-1} \delta x_i $$$$ = $$$$ \Delta x $$になるが、「全ての$$ i $$についての和」という意味を強調するため、表記「$$ \sum_i $$」を用いる。

作図 EditToHeaderToFooter

  • 座標　$$ \iro[md]{x} $$　$$ \iro[md]{y} $$　$$ \iro[md]{0} $$
  • 差　$$ \iro[ai]{F} $$　$$ \iro[ai]{x_0} $$　$$ \iro[ai]{x_n} $$　$$ \iro[ai]{F_0} $$　$$ \iro[ai]{F_n} $$　$$ \iro[ak]{\gDl F} $$　$$ \iro[ak]{\gDl x} $$
  • 差分　$$ \iro[ai]{x_i} $$　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$　$$ \iro[ai]{F_i} $$　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$　$$ \iro[ak]{\gDl F_i} $$　$$ \iro[ak]{\gDl x_i} $$
  • 微分　$$ \iro[ak]{dF_i} $$　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
  • グラフ
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fileFx微分.png 644件 [詳細] fileFx差分.png 695件 [詳細] fileFx差.png 663件 [詳細] fileF微分.png 698件 [詳細] fileF差分.png 620件 [詳細] fileF差.png 597件 [詳細] filex微分.png 646件 [詳細] filex差分.png 669件 [詳細] filex差.png 640件 [詳細] fileF対xの微分商.png 2656件 [詳細] fileF対xの差分商.png 2679件 [詳細] fileF対xの差商.png 365件 [詳細] fileFの微分.png 376件 [詳細] fileFの差.png 337件 [詳細] fileFの差分.png 336件 [詳細] filexの微分.png 2627件 [詳細] filexの差分.png 2550件 [詳細] filexの差.png 2599件 [詳細]
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