微分積分学の基本公式のバックアップ差分(No.17)

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* 【執筆中】 [#k72ad61c]
* 凌宮読取術：$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$ [#se0e5cc6]
;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる定積分と原始関数を結ぶ関係式がある。
;,以下、基本公式と略す。
* 凌宮読取術：$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$ ⇒ $$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! dF = \Delta F  $$ [#se0e5cc6]
;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
;,歴史的には、微分法と区分求積法という独立に発展した２つの分野を結ぶ超重要公式である。
;,また、ベクトル解析で習う多くの積分公式
  ((勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $($ \:\nabla $ F $)$     d\:r $ = $ F(\:b) $ - $ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名が無い。))
  ((回転の面積分：$$ \int_{S}\! $($ \:\nabla   \vx   \:F $)  \sx d\:S $ = $ \int_{R} $ \:F $ \sx $ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。))
  ((発散の体積分：$$ \int_{V}\! $($ \:\nabla $ \sx $ \:F $)$       dV $ = $ \int_{S} $ \:F $ \sx $ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。))がこの基本公式の延長線上にある。

;,一般に、微分は被微分関数の傾き、積分は被積分関数の面積として教えられる。
;,ところが、基本公式では微分の結果を積分するため、傾きで微分、面積で積分を同時に表せない。
;,このためか、図による直感的な説明は少ない。
;,ところが、図形と密接に繋がっているにも関わらず、この基本公式を図で直観的に説明する例は見ない。
;,一般に、微分は被微分関数の傾き、積分は被積分関数の面積として教えられるが、
;,基本公式では微分の結果を積分するため、傾きで微分、面積で積分を同時に表せないのが原因かと思う。

;,しかし、微分と積分が傾きや面積など図形概念と密接に関わっている。
;,ベクトル解析に入ると、３大置換積分公式
;,不思議なことに、回転の面積分であるストークスの定理、発散の体積分であるガウス定理は、良く図で説明されるのに、

;,これに対し、凌宮数学では、微分積分学の基本公式の図による直感的説明を考えた。
;,３大積分公式への繋ぎを考慮し、面積での積分の図示を諦め、
;,微分と積分のもう一つの図示方法を用いる。

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* もう一つの微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の無い微分・積分 [#qe33f31b]
;,問題を簡単にするため、まず１つの変数$$ F $$だけについて考える。
;,$$ x $$軸上に２点$$ x_0 $$と$$ x_n $$があれば、区間$$ x_0 $～$ x_n $$ができる。
;,区間$$ x_0 $$～$$ x_n $$の長さは２点の差分と呼ぶ、$$ \Delta x $ \equiv $ x_n $ - $ x_0 $$と定義できる。

;,次に、区間$$ x_0 $$～$$ x_n $$の$$ N $$等分を考える。
;,各区間の端点を$$ x_i $$と$$ x_{i+1} $$とすると、その差分は$$ \delta x $ \equiv $ x_{i+1} $ - $ x_i $$と定義できる。
;,単純に分割しているため、$$ \delta x $$を繋ぎあわせると必ず$$ \Delta x $$になる。

#ceq(e)
    式１：　$$ \sum_i \delta x_i $ = $ \Delta x $$((厳密に書くと、$$ \sum_{i=0}^{N-1} \delta x_i $ = $ \Delta x $$になるが、「全ての$$ i $$についての和」という意味を強調するため、表記「$$ \sum_i $$」を用いる。))
#ceq(end)

;,ここで、無限に分割すると、分割数$$ N $$を$$ \infty $$に、$$ \delta x_i $$は$$ 0 $$に近づく。
;,$$ 0 $$に近づけた$$ \delta x_i $$を$$ dx $$と書くと、この$$ dx $$が$$ x $$全微分と呼ばれるもう一つの微分となる。
;,式１は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割した場合でも同様の式が成り立つ：
#ceq(e)
    式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} dx $ = $ \Delta x $$
#ceq(end)

要点を簡潔に纏めると、
- ２点$$ x_n $$と$$ x_0 $$の引き算から、差$$ \Delta x $$が得られる。
- 差$$ \Delta x $$を分割していくと、差分$$ \delta x_i $$が得られる。
- 無限に分割してくと$$ \delta x_i $$が$$ 0 $$に近づき全微分$$ dx_i $$が得られる。



;,&attachref(./差.png,40%);


- 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
-- 手順１：　２点の差を考える
-- 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
-- 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。

* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 [#bfea63a1]
-- 手順４：　関数を考える
-- 手順５：　手順１～３を繰り返す

* まとめ [#l61b9098]
- 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
-- 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
- 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

* つなぎ [#g57744a6]


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* 作図 [#bb77c072]
- 座標
　$$ \iro[md]{x} $$
　$$ \iro[md]{y} $$
　$$ \iro[md]{0} $$
- 差
　$$ \iro[ai]{F} $$
　$$ \iro[ai]{x_0} $$
　$$ \iro[ai]{x_n} $$
　$$ \iro[ai]{F_0} $$
　$$ \iro[ai]{F_n} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl F} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl x} $$
- 差分
　$$ \iro[ai]{x_i} $$
　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
　$$ \iro[ai]{F_i} $$
　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl F_i} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl x_i} $$
- 微分
　$$ \iro[ak]{dF_i} $$
　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
- グラフ
;,&attachref(./差分.png,40%);
;,&attachref(./微分.png,40%);
微分積分学の基本公式 のバックアップ差分(No.17)

微分積分学の基本公式のバックアップ差分(No.17)
