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凌宮読取術：$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_0) $$$$ - $$$$ F(x_n) $$ ⇒ $$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! dF = \Delta F $$ EditToHeaderToFooter

微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。

$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_0) $$$$ - $$$$ F(x_n) $$

歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という２大分野を繋げた超重要公式となる。
ベクトル解析でも、多くの積分公式*1*2*3がこの基本公式の拡張版と言って良い。

問題は、図形と密接に繋がっている公式にも関わらず、図による直観的な説明は見掛けない。
微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、
「微分と言えば傾き、積分と言えば面積」という考え方だけでは１枚の図に纏まらない。

体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表す。
微分積分の基本公式に出てくる積分は、線積分に対応するため、長さを表すべきである。
このため、凌宮数学では、ベクトル解析で通用する長さを表す積分の考え方で基本公式を図示する。

*1 勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ F $$$$ ) $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ F(\:b) $$$$ - $$$$ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名が無い。
*2 回転の面積分：$$ \int_{S}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla \!\vx\! \:F $$$$ ) \sx d\:S $$$$ = $$$$ \int_{R} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。
*3 発散の体積分：$$ \int_{V}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ \sx $$$$ \:F $$$$ ) $$$$ dV $$$$ = $$$$ \int_{S} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。

微小を表す微分積分 ── もう一つの微分・積分 EditToHeaderToFooter

問題を簡単にするため、まず１つの変数$$ x $$だけについて考える。
$$ x $$軸上に２点$$ x_0 $$と$$ x_n $$があれば、区間$$ x_0 $$$$ 〜 $$$$ x_n $$ができる。
区間$$ x_0 $$〜$$ x_n $$の長さは２点の差分と呼ぶ、$$ \Delta x $$$$ \equiv $$$$ x_n $$$$ - $$$$ x_0 $$と定義できる。

次に、区間$$ x_0 $$〜$$ x_n $$の$$ N $$等分を考える。
各区間の端点を$$ x_i $$と$$ x_{i+1} $$とすると、その差分は$$ \delta x $$$$ \equiv $$$$ x_{i+1} $$$$ - $$$$ x_i $$と定義できる。
単純に分割しているため、$$ \delta x $$を繋ぎあわせると必ず$$ \Delta x $$になる。

式１：　$$ \sum_i \delta x_i $$$$ = $$$$ \Delta x $$*4

ここで、無限に分割すると、分割数$$ N $$を$$ \infty $$に、$$ \delta x_i $$は$$ 0 $$に近づく。
$$ 0 $$に近づけた$$ \delta x_i $$を$$ dx $$と書くと、この$$ dx $$が$$ x $$全微分と呼ばれるもう一つの微分となる。
式１は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割した場合でも同様の式が成り立つ：

式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} dx $$$$ = $$$$ \Delta x $$

要点を簡潔に纏めると、

  • ２点$$ x_n $$と$$ x_0 $$の引き算から、差$$ \Delta x $$が得られる。
  • 差$$ \Delta x $$を分割していくと、差分$$ \delta x_i $$が得られる。
  • 無限に分割してくと$$ \delta x_i $$が$$ 0 $$に近づき全微分$$ dx_i $$が得られる。

File not found: "差.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]

  • 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
    • 手順１：　２点の差を考える
    • 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
    • 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。

一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 EditToHeaderToFooter

  • 手順４：　関数を考える
  • 手順５：　手順１〜３を繰り返す

まとめ EditToHeaderToFooter

  • 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
    • 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
  • 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

つなぎ EditToHeaderToFooter

*4 厳密に書くと、$$ \sum_{i=0}^{N-1} \delta x_i $$$$ = $$$$ \Delta x $$になるが、「全ての$$ i $$についての和」という意味を強調するため、表記「$$ \sum_i $$」を用いる。

作図 EditToHeaderToFooter

  • 座標　$$ \iro[md]{x} $$　$$ \iro[md]{y} $$　$$ \iro[md]{0} $$
  • 差　$$ \iro[ai]{F} $$　$$ \iro[ai]{x_0} $$　$$ \iro[ai]{x_n} $$　$$ \iro[ai]{F_0} $$　$$ \iro[ai]{F_n} $$　$$ \iro[ak]{\gDl F} $$　$$ \iro[ak]{\gDl x} $$
  • 差分　$$ \iro[ai]{x_i} $$　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$　$$ \iro[ai]{F_i} $$　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$　$$ \iro[ak]{\gDl F_i} $$　$$ \iro[ak]{\gDl x_i} $$
  • 微分　$$ \iro[ak]{dF_i} $$　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
  • グラフ
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