微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
ただし、はの原始関数 ──
歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という2大分野を繋げた超重要公式となる。 現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式*1*2*3が全てこの基本公式の拡張版と言って良い。
問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明は見掛けない。 微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、 一般的に教えられている「微分は傾き、積分は面積」という考え方では1枚の絵にならない。
体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表す。 微分積分の基本公式に出てくる積分は、線積分に対応するため、長さを表すべきである。 このため、凌宮数学では、ベクトル解析で通用する長さを表す積分の考え方で基本公式を図示する。
問題を簡単にするため、まず1つの変数だけについて考える。 軸上に2点とがあれば、区間*4が決まる。 区間の長さを2点の差分として定義できる。
次に、区間〜の等分を考える。 各区間の端点をととすると、その差分はと定義できる。 単純に分割しているため、を繋ぎあわせると必ずになる。
式1: *5
ここで、無限に分割すると、分割数をに、はに近づく。 に近づけたをと書くと、このが全微分と呼ばれるもう一つの微分となる。 式1は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割した場合でも同様の式が成り立つ:
式2:
要点を簡潔に纏めると、
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