微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
ただし、はの原始関数 ──
歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という2大分野を繋げた超重要公式である。 現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式*1*2*3が全てこの基本公式の拡張版という位置づけ。
問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。 微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、 一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では1枚の絵にならない。
体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。 微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。 このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。
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問題を簡単にするため、まず1つの変数だけについて考える。 変数1つしかないから関数を考えなくても良く、関数の独立変数と考えても良い。 とにかく今、は、他からの影響を考えなくて良い、自由な変数である。
まず、軸上に2点とを考える。 すると、2点によって区間*4が区切られる。 区間の長さを2点の差分と定義すると、と書ける。
次に、区間の等分を考える。 すると、区間に対応する差分はと書ける。 今、区間を単純に分割しているため、を足し合わせば必ずに戻る。
式1: *5
ここで、無限に分割すると、分割数をに、はに近づく。 に近づけたをと書くと、このが全微分と呼ばれるもう一つの微分となる。 式1は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割した場合でも同様の式が成り立つ:
式2:
要点を簡潔に纏めると、
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