微分積分学の基本公式 のバックアップ(No.23) |
【執筆中】凌宮読取術: ⇒微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という2大分野を繋げた超重要公式である。 問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。 体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
*1
勾配の線積分: ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名が無い。
*2 回転の面積分: ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。 *3 発散の体積分: ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。 変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分独立変数の微分・積分問題を簡単にするため、まず1つの変数だけについて考える。
まず、軸上に2点とを考える。
次に、区間の等分し、分割点をから順に、…名付けた場合について考える。
続けて、分割数をに近づける無限な等分を考える。
さらに、式2におけるは次の記号の等価な書き換えにより積分となる。
式2において、を無限に分割してを作る操作が、傾きでない、もう一つの微分であり、 この微分は厳密に全微分と呼ばれ、被微分関数を持つのような関数の微分とは異なる概念である。 要点を簡潔に纏めると、
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まとめ
つなぎ作図
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