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凌宮読取術：$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$$$ = $$$$ \gDl x $$ EditToHeaderToFooter

微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。

$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$　　　ただし、$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数$$ \Big( $$$$ \ddd{F(x)}{x} = f(x) $$$$ \Big) $$

歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という２大分野を繋げた超重要公式である。
現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式*1*2*3が全てこの基本公式の拡張版という位置づけ。

問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。
微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、
一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では１枚の絵にならない。

体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。
このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。

$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$$$ = $$$$ \gDl F $$

*1 勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ F $$$$ ) $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ F(\:b) $$$$ - $$$$ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名が無い。
*2 回転の面積分：$$ \int_{S}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla \!\vx\! \:F $$$$ ) \sx d\:S $$$$ = $$$$ \int_{R} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。
*3 発散の体積分：$$ \int_{V}\! $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ \sx $$$$ \:F $$$$ ) $$$$ dV $$$$ = $$$$ \int_{S} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。

変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分 EditToHeaderToFooter

独立変数の微分・積分 EditToHeaderToFooter

問題を簡単にするため、まず１つの変数$$ x $$だけについて考える。
変数１つしかないから関数を考えなくても良く、関数$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$の独立変数と考えても良い。
とにかく$$ x $$は今、他からの影響を一切受けない、自由な変数である。

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まず、$$ x $$軸上に２点$$ x_A $$と$$ x_B $$を考える。
すると、２点によって区間$$ x_A::x_B $$*4が区切られる。
区間$$ x_A::x_B $$の長さを差分$$ \Delta x $$と定義すると、$$ \Delta x $$$$ = $$$$ x_B $$$$ - $$$$ x_A $$と書ける。

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次に、区間$$ x_0 $$$$ :: $$$$ x_n $$の$$ N $$等分し、分割点を$$ x_A $$から順に$$ x_0 $$、$$ x_1 $$…$$ x_N $$名付けた場合について考える。
$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_i $$$$ :: $$$$ x_{i+1} $$に対応する差分を$$ \gdl x_i $$と定義すると、$$ \gdl x_i $$$$ = $$$$ x_{i+1} $$$$ - $$$$ x_i $$と書ける。
今、区間を単純に分割しているに過ぎないため、$$ \gdl x_i $$を繋ぎ合わせば必ず$$ \gDl x $$に戻る。

式１：　$$ \sum_i^N \delta x_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

File not found: "dxi.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]

続けて、分割数$$ N $$を$$ \infty $$に近づける無限な等分を考える。
このとき、$$ \delta x_i $$は$$ 0 $$に近づき、$$ dx $$と書かれる微小な量になる。
式１は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ：

式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$$$ dx_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

ここで、式２の左辺$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$$$ dx_i $$は微小量$$ dx_i $$の総和であるため、$$ \int_{i=0}^{\infty} $$$$ dx_i $$に書き換えられる。
さらに、$$ i = 0 $$のとき$$ x_i $$$$ = $$$$ x_a $$、$$ i = \infty $$のとき$$ x_i $$$$ = $$$$ x_b $$であるため、左辺は$$ \int_{x_i=x_a}^{x_b} $$$$ dx_i $$に書き換えられる。
もはや添字$$ i $$が不要となり、$$ dx_i $$を全て$$ dx $$で代表させて$$ \int_{x_a}^{x_b} $$$$ dx $$に書き換えても混乱は起きない。
よって、

式３：　$$ \int_{x_a}^{x_n} $$$$ dx $$$$ = $$$$ \gDl x $$

*5。

区間$$ x_A::x_B $$にある全ての$$ dx_i $$を足し合わせる意味のため、
微小量$$ dx_i $$を$$ x_A $$から$$ x_B $$までの積分と同義となる。
一応、形式的に次の記号の読み替えで$$ \sum_{i=0}^{\infty} dx_i $$$$ = $$$$ \int_{x_A}^{x_B} $$$$ dx $$と考えることができる：

$$ \sum_{i=0}^{\infty} dx_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

式２（再掲）

$$ = $$$$ \sum_{x_A::x_B} dx_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$は区間$$ x_A::x_B $$に含まれる全ての$$ dx_i $$の和の意味。

$$ = $$$$ \sum_{x_A::x_B} dx $$$$ = $$$$ \gDl x $$

区間表現では添字が不要になるため、$$ dx $$で代表しても意味は変わらない。

$$ = $$$$ \int_{x_A::x_B} dx $$$$ = $$$$ \gDl x $$

微小量を足し合わせるには、$$ \sum $$ではなく$$ \int $$を使う約束*6。

$$ = $$$$ \int_{x_A}^{x_B} dx $$$$ = $$$$ \gDl x $$

$$ x_A $$から$$ x_B $$までの積分を$$ \int_{x_A}^{x_B} $$と書く約束。

式２において、$$ \gDl x $$を無限に分割して$$ dx $$を作る操作が、傾きでない、もう一つの微分であり、
逆に、無数にある$$ dx $$を足し合わせて$$ \gDl x $$に戻す操作が、面積でない、もう一つの積分である。

この微分$$ dx $$は厳密に全微分と呼ばれ、被微分関数を持つ$$ \ddd{f}{x} $$のような関数の微分とは異なる概念である。
この積分$$ \gDl x $$も被積分関数を持たない積分となるが、次の読み替えにより被積分関数が$$ 1 $$の関数の積分に含まれる。

要点を簡潔に纏めると、

  • ２点$$ x_n $$と$$ x_0 $$の引き算から、差$$ \Delta x $$が得られる。
  • 差$$ \Delta x $$を分割していくと、差分$$ \delta x_i $$が得られる。
  • 無限に分割してくと$$ \delta x_i $$が$$ 0 $$に近づき全微分$$ dx_i $$が得られる。

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  • 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
    • 手順１：　２点の差を考える
    • 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
    • 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。

      一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 EditToHeaderToFooter

    • 手順４：　関数を考える
    • 手順５：　手順１〜３を繰り返す

まとめ EditToHeaderToFooter

  • 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
    • 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
  • 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

つなぎ EditToHeaderToFooter

*4 $$ A $$$$ :: $$$$ B $$は閉区間の凌宮表記である。一般的に$$ [A,B] $$という表記を用いられるが、紛らわしいため凌宮数学では用いない。
*5 「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味で間違いないが、記号としては、区間の一般的な表記法が添字$$ i $$ではなく区間の端点$$ x_a $$と$$ x_b $$を用いる違いもあることに注意。
*6 これは$$ \int $$の本来の意味であるが、標準的な区間の書き方も異なっていることに注意（添字vs両端）。

作図 EditToHeaderToFooter

  • 座標　$$ \iro[md]{x} $$　$$ \iro[md]{F} $$　$$ \iro[md]{0} $$　$$ \iro[md]{x_a} $$　$$ \iro[md]{x_b} $$　$$ \iro[md]{F_a} $$　$$ \iro[md]{F_b} $$
  • 差　$$ \iro[ai]{F} $$　$$ \iro[ai]{x_0} $$　$$ \iro[ai]{x_1} $$　$$ \iro[ai]{x_2} $$　$$ \iro[ai]{x_3} $$　$$ \iro[ai]{x_n} $$　$$ \iro[ai]{x_N} $$　$$ \iro[ai]{x_\infty} $$　$$ \iro[ai]{F_0} $$　$$ \iro[ai]{F_n} $$　$$ \iro[ak]{\gdl F} $$　$$ \iro[ak]{\gdl x} $$　$$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$　$$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
  • 差分　$$ \iro[ai]{x_i} $$　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$　$$ \iro[ai]{F_i} $$　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$　$$ \iro[ak]{\gdl x_0} $$　$$ \iro[ak]{\gdl F_0} $$　$$ \iro[ak]{\gdl x_1} $$　$$ \iro[ak]{\gdl F_1} $$　$$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$　$$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$　$$ \iro[ak]{\gdl x_N} $$　$$ \iro[ak]{\gdl F_N} $$　$$ \iro[ak]{\gdl x_\infty} $$　$$ \iro[ak]{\gdl F_\infty} $$

　$$ \iro[ai]{\cdots} $$　$$ \iro[ak]{\cdots} $$

　$$ \iro[ak]{dF} $$　$$ \iro[ak]{dx} $$

  • 微分　$$ \iro[ak]{dF_0} $$　$$ \iro[ak]{dx_0} $$　$$ \iro[ak]{dF_1} $$　$$ \iro[ak]{dx_1} $$　$$ \iro[ak]{dF_i} $$　$$ \iro[ak]{dx_i} $$　$$ \iro[ak]{dF_N} $$　$$ \iro[ak]{dx_N} $$　$$ \iro[ak]{dF_\infty} $$　$$ \iro[ak]{dx_\infty} $$
  • グラフ
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    File not found: "微分.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]
fileFx微分.png 644件 [詳細] fileFx差分.png 695件 [詳細] fileFx差.png 663件 [詳細] fileF微分.png 697件 [詳細] fileF差分.png 620件 [詳細] fileF差.png 597件 [詳細] filex微分.png 646件 [詳細] filex差分.png 669件 [詳細] filex差.png 640件 [詳細] fileF対xの微分商.png 2656件 [詳細] fileF対xの差分商.png 2679件 [詳細] fileF対xの差商.png 365件 [詳細] fileFの微分.png 376件 [詳細] fileFの差.png 337件 [詳細] fileFの差分.png 336件 [詳細] filexの微分.png 2627件 [詳細] filexの差分.png 2550件 [詳細] filexの差.png 2599件 [詳細]
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