微分積分学の基本公式 のバックアップ(No.25) |
【執筆中】凌宮読取術: ⇒微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という2大分野を繋げた超重要公式である。 問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。 体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
*1
勾配の線積分: ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名は無い。
*2 回転の面積分: ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。 *3 発散の体積分: ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。 変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分独立変数の微分・積分問題を簡単にするため、まず1つの変数だけについて考える。 まず、軸と軸上に2点とがある場合について考える。 次に、区間を分割して、分割点をから順に、…と名付けた場合について考える。
続けて、分割数をに近づけた無限な分割について考える。
ここで、式2の左辺は微小量の総和であるため、に書き換えられる*5。
*4
は凌宮数学の閉区間表記である。一般的に閉区間は括弧表記で表記されるが、優先順位の括弧と紛らわしいため凌宮数学では用いない。 *5 「微小量の総和」というのがの本来の意味である。しかし、積分範囲の表記は、添字を使ったが一般的ではなく、範囲の端点を使ったが一般的である注意。 *6。 区間にある全てのを足し合わせる意味のため、
式2において、を無限に分割してを作る操作が、傾きでない、もう一つの微分であり、 この微分は厳密に全微分と呼ばれ、被微分関数を持つのような関数の微分とは異なる概念である。 要点を簡潔に纏めると、
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まとめ
つなぎ*6
「微小量の総和」というのがの本来の意味で間違いないが、記号としては、区間の一般的な表記法が添字ではなく区間の端点とを用いる違いもあることに注意。
*7 これはの本来の意味であるが、標準的な区間の書き方も異なっていることに注意(添字vs両端)。 作図
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