微分積分学の基本公式のバックアップソース(No.25)

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* 【執筆中】 [#k72ad61c]
* 凌宮読取術：$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl x $$ [#se0e5cc6]
;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
#ceq(e)
   $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$　　　ただし、$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数$$ \Big( $ \ddd{F(x)}{x} = f(x) $ \Big) $$
#ceq(end)
;,歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という２大分野を繋げた超重要公式である。
;,現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式
  ((勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $   \:\nabla F $ \sx $ d\:r $ = $ F(\:b) $ - $ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名は無い。))
  ((回転の面積分：$$ \int_{S}\! $ \:\nabla \!\vx\! \:F $ \sx d\:S $ = $ \int_{R} $ \:F $ \sx $ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。))
  ((発散の体積分：$$ \int_{V}\! $ \:\nabla $ \sx $ \:F $ \,\,  dV $ = $ \int_{S} $ \:F $ \sx $ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。))
  が全てこの基本公式の拡張版に相当する。

;,問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。
;,微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、
;,一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では１枚の絵にならない。

;,体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
;,微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。
;,このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。

#ceq(e)
   $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)

%bodynote

* 変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分 [#b9bedeb2]
** 独立変数の微分・積分 [#i0a8e6ec]

;,問題を簡単にするため、まず１つの変数$$ x $$だけについて考える。
;,変数１つしかないから関数を考えなくても良く、関数$$ y $ = $ f(x) $$の独立変数と考えても良い。
;,とにかく、今の$$ x $$は、他からの影響を一切受けない、自由な変数である。

|&attachref(./xの差.png,25%);|
;,まず、$$ x $$軸と軸上に２点$$ x_A $$と$$ x_B $$がある場合について考える。
;,すると、２点によって区間$$ x_A::x_B $$
  (($$ A $ :: $ B $$は凌宮数学の閉区間表記である。一般的に閉区間は括弧表記$$ [A,B] $$で表記されるが、優先順位の括弧と紛らわしいため凌宮数学では用いない。))が区切られる。
;,区間$$ x_A::x_B $$の長さを差分$$ \Delta x $$と定義すると、$$ \Delta x $ = $ x_B $ - $ x_A $$と書ける。

|&attachref(./xの差分.png,25%);|
;,次に、区間$$ x_a $::$ x_b $$を$$ N $$分割して、分割点を$$ x_A $$から順に$$ x_0 $$、$$ x_1 $$…$$ x_N $$と名付けた場合について考える。
;,すると$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_i $::$ x_{i+1} $$に対応する差分を$$ \gdl x_i $$と定義すれば、$$ \gdl x_i $ = $ x_{i+1} $ - $ x_i $$と書ける。
;,また、今は区間を単純に分割しているため、$$ \gdl x_i $$を繋ぎ合わせば必ず$$ \gDl x $$に戻る。
#ceq(e)
    式１：　$$ \sum_i^N \delta x_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)

|&attachref(./xの微分.png,25%);|
;,続けて、分割数$$ N $$を$$ \infty $$に近づけた無限な分割について考える。
;,この場合、$$ \gdl x_i $$は$$ 0 $$に近づく。以下では、この微小な$$ \gdl x_i $$を$$ dx_i $$と定義する。
;,すると、式１は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ：
#ceq(e)
    式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dx_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)

;,ここで、式２の左辺$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dx_i $$は微小量$$ dx_i $$の総和であるため、$$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dx_i $$に書き換えられる
  ((「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味である。しかし、積分範囲の表記は、添字を使った$$ \int_{i=0}^{\infty} $$が一般的ではなく、範囲の端点を使った$$ \int_{x_b}^{x^b} $$が一般的である注意。))。
;,さらに、$$ i = 0 $$のとき$$ x_i $ = $ x_a $$、$$ i $ \to $ \infty $$のとき$$ x_i $ \to $ x_b $$であるため、左辺は$$ \int_{x_i=x_a}^{x_b} \!\!\!\!\!\! dx_i $$に書き換えられる。
;,もはや添字$$ i $$が不要となり、$$ dx_i $$を全て$$ dx $$に代表させ、$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx $$に書き換えると、通常の積分になる。
;,よって、
#ceq(e)
    式３：　$$ \int_{x_a}^{x_n} \!\! dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)

%bodynote

  ((「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味で間違いないが、記号としては、区間の一般的な表記法が添字$$ i $$ではなく区間の端点$$ x_a $$と$$ x_b $$を用いる違いもあることに注意。))。



区間$$ x_A::x_B $$にある全ての$$ dx_i $$を足し合わせる意味のため、
;,微小量$$ dx_i $$を$$ x_A $$から$$ x_B $$までの積分と同義となる。
;,一応、形式的に次の記号の読み替えで$$ \sum_{i=0}^{\infty} dx_i $ = $ \int_{x_A}^{x_B} $ dx $$と考えることができる：
#ceq(e)
    $$ \sum_{i=0}^{\infty} dx_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(q)
    式２（再掲）
#ceq(e)
    $$ = $ \sum_{x_A::x_B} dx_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(q)
    $$ \sum_{i=0}^{\infty} $$は区間$$ x_A::x_B $$に含まれる全ての$$ dx_i $$の和の意味。
#ceq(e)
    $$ = $ \sum_{x_A::x_B} dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(q)
    区間表現では添字が不要になるため、$$ dx $$で代表しても意味は変わらない。
#ceq(e)
    $$ = $ \int_{x_A::x_B} dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(q)
    微小量を足し合わせるには、$$ \sum $$ではなく$$ \int $$を使う約束((これは$$ \int $$の本来の意味であるが、標準的な区間の書き方も異なっていることに注意（添字vs両端）。))。
#ceq(e)
    $$ = $ \int_{x_A}^{x_B} dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(q)
    $$ x_A $$から$$ x_B $$までの積分を$$ \int_{x_A}^{x_B} $$と書く約束。
#ceq(end)


;,式２において、$$ \gDl x $$を無限に分割して$$ dx $$を作る操作が、傾きでない、もう一つの微分であり、
;,逆に、無数にある$$ dx $$を足し合わせて$$ \gDl x $$に戻す操作が、面積でない、もう一つの積分である。

;,この微分$$ dx $$は厳密に全微分と呼ばれ、被微分関数を持つ$$ \ddd{f}{x} $$のような関数の微分とは異なる概念である。
;,この積分$$ \gDl x $$も被積分関数を持たない積分となるが、次の読み替えにより被積分関数が$$ 1 $$の関数の積分に含まれる。





要点を簡潔に纏めると、
- ２点$$ x_n $$と$$ x_0 $$の引き算から、差$$ \Delta x $$が得られる。
- 差$$ \Delta x $$を分割していくと、差分$$ \delta x_i $$が得られる。
- 無限に分割してくと$$ \delta x_i $$が$$ 0 $$に近づき全微分$$ dx_i $$が得られる。



;,&attachref(./差.png,40%);


- 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
-- 手順１：　２点の差を考える
-- 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
-- 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。
* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 [#bfea63a1]
-- 手順４：　関数を考える
-- 手順５：　手順１～３を繰り返す

* まとめ [#l61b9098]
- 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
-- 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
- 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

* つなぎ [#g57744a6]


%bodynote

* 作図 [#bb77c072]
- 座標
　$$ \iro[md]{x} $$
　$$ \iro[md]{F} $$
　$$ \iro[md]{0} $$
　$$ \iro[md]{x_a} $$
　$$ \iro[md]{x_b} $$
　$$ \iro[md]{F_a} $$
　$$ \iro[md]{F_b} $$

- 差
　$$ \iro[ai]{F} $$
　$$ \iro[ai]{x_0} $$
　$$ \iro[ai]{x_1} $$
　$$ \iro[ai]{x_2} $$
　$$ \iro[ai]{x_3} $$
　$$ \iro[ai]{x_n} $$
　$$ \iro[ai]{x_N} $$
　$$ \iro[ai]{x_\infty} $$
　$$ \iro[ai]{F_0} $$
　$$ \iro[ai]{F_n} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl F} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl x} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
- 差分
　$$ \iro[ai]{x_i} $$
　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
　$$ \iro[ai]{F_i} $$
　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl x_0} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl F_0} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl x_1} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl F_1} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl x_N} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl F_N} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl x_\infty} $$
　$$ \iro[ak]{\gdl F_\infty} $$

　$$ \iro[ai]{\cdots} $$
　$$ \iro[ak]{\cdots} $$

　$$ \iro[ak]{dF} $$
　$$ \iro[ak]{dx} $$
- 微分
　$$ \iro[ak]{dF_0} $$
　$$ \iro[ak]{dx_0} $$
　$$ \iro[ak]{dF_1} $$
　$$ \iro[ak]{dx_1} $$
　$$ \iro[ak]{dF_i} $$
　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
　$$ \iro[ak]{dF_N} $$
　$$ \iro[ak]{dx_N} $$
　$$ \iro[ak]{dF_\infty} $$
　$$ \iro[ak]{dx_\infty} $$
- グラフ
;,&attachref(./差分.png,40%);
;,&attachref(./微分.png,40%);
微分積分学の基本公式 のバックアップソース(No.25)

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