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凌宮読取術：$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$$$ = $$$$ \gDl x $$ EditToHeaderToFooter

微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。

$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$　　　ただし、$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数$$ \Big( $$$$ \ddd{F(x)}{x} = f(x) $$$$ \Big) $$

歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という２大分野を繋げた超重要公式である。
現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式*1*2*3が全てこの基本公式の拡張版に相当する。

問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。
微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、
一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では１枚の絵にならない。

体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。
このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。

$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$$$ = $$$$ \gDl F $$

*1 勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $$$$ \:\nabla F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ F(\:b) $$$$ - $$$$ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名は無い。
*2 回転の面積分：$$ \int_{S}\! $$$$ \:\nabla \!\vx\! \:F $$$$ \sx d\:S $$$$ = $$$$ \int_{R} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。
*3 発散の体積分：$$ \int_{V}\! $$$$ \:\nabla $$$$ \sx $$$$ \:F $$$$ \,\, dV $$$$ = $$$$ \int_{S} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。

変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分 EditToHeaderToFooter

独立変数の微分・積分 EditToHeaderToFooter

問題を簡単にするため、第１段階として、１つの変数$$ x $$だけについて考える。
変数１つしかないから関数を考えなくても良く、関数$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$の独立変数と考えても良い。
とにかく、今の$$ x $$は、他からの影響を一切受けない、自由な変数である。

xの差.png

まず、$$ x $$軸と軸上に２点$$ x_A $$と$$ x_B $$がある場合について考える。
すると、２点によって区間$$ x_A::x_B $$*4が区切られる。
区間$$ x_A::x_B $$の長さを差分$$ \Delta x $$と定義すると、$$ \Delta x $$$$ = $$$$ x_B $$$$ - $$$$ x_A $$と書ける。

xの差分.png

次に、区間$$ x_a $$$$ :: $$$$ x_b $$を$$ N $$分割して、分割点を$$ x_A $$から順に$$ x_0 $$、$$ x_1 $$…$$ x_N $$と名付けた場合について考える。
すると$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_i $$$$ :: $$$$ x_{i+1} $$に対応する差分を$$ \gdl x_i $$と定義すれば、$$ \gdl x_i $$$$ = $$$$ x_{i+1} $$$$ - $$$$ x_i $$と書ける。
また、今は区間を単純に分割しているため、$$ \gdl x_i $$を繋ぎ合わせば必ず$$ \gDl x $$に戻る。

式１：　$$ \sum_i^N \delta x_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

xの微分.png

続けて、分割数$$ N $$を$$ \infty $$に近づけた無限な分割について考える。
この場合、$$ \gdl x_i $$は$$ 0 $$に近づく。以下では、この微小な$$ \gdl x_i $$を$$ dx_i $$と定義する。
すると、式１は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ：

式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$$$ dx_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

ここで、式２の左辺$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$$$ dx_i $$は微小量$$ dx_i $$の総和であるため、$$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dx_i $$に書き換えできる*5。
さらに、$$ i = 0 $$のとき$$ x_i $$$$ = $$$$ x_a $$、$$ i $$$$ \to $$$$ \infty $$のとき$$ x_i $$$$ \to $$$$ x_b $$であるため、左辺は$$ \int_{x_i=x_a}^{x_b} \!\!\!\!\!\! dx_i $$に書き換えできる。
もはや添字$$ i $$が不要となり、$$ dx_i $$を全て$$ dx $$に代表させ、$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx $$に書き換えると、通常の積分になる。
よって、

式３：　$$ \int_{x_a}^{x_n} \!\! dx $$$$ = $$$$ \gDl x $$

*4 $$ A $$$$ :: $$$$ B $$は凌宮数学の閉区間表記である。一般的に閉区間は括弧表記$$ [A,B] $$で表記されるが、優先順位の括弧と紛らわしいため凌宮数学では用いない。
*5 「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味である。しかし、積分範囲の表記は、添字を使った$$ \int_{i=0}^{\infty} $$が一般的ではなく、範囲の端点を使った$$ \int_{x_b}^{x^b} $$が一般的であることに注意。

従属変数の微分・積分 EditToHeaderToFooter

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関数の微分・積分 EditToHeaderToFooter

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まとめ EditToHeaderToFooter

  • 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
    • 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
  • 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

つなぎ EditToHeaderToFooter
fileFx微分.png 644件 [詳細] fileFx差分.png 695件 [詳細] fileFx差.png 663件 [詳細] fileF微分.png 698件 [詳細] fileF差分.png 620件 [詳細] fileF差.png 597件 [詳細] filex微分.png 646件 [詳細] filex差分.png 669件 [詳細] filex差.png 640件 [詳細] fileF対xの微分商.png 2656件 [詳細] fileF対xの差分商.png 2679件 [詳細] fileF対xの差商.png 365件 [詳細] fileFの微分.png 376件 [詳細] fileFの差.png 337件 [詳細] fileFの差分.png 336件 [詳細] filexの微分.png 2627件 [詳細] filexの差分.png 2550件 [詳細] filexの差.png 2599件 [詳細]
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