微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
ただし、はの原始関数
歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という2大分野を繋げた超重要公式である。 現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式*1*2*3が全てこの基本公式の拡張版に相当する。
問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。 微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、 一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では1枚の絵にならない。
体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。 微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。 このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。
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問題を簡単にするため、第1段階として、1つの変数だけについて考える。 変数1つしかないから関数を考えなくても良く、関数の独立変数と考えても良い。 とにかく、今のは、他からの影響を一切受けない、自由な変数である。
まず、軸と軸上に2点とがある場合について考える。 すると、2点によって区間*4が区切られる。 区間の長さを差分と定義すると、と書ける。
次に、区間を分割して、分割点をから順に、…と名付けた場合について考える。 するとと同様に、区間に対応する差分をと定義すれば、と書ける。 また、今は区間を単純に分割しているため、を繋ぎ合わせば必ずに戻る。
式1:
続けて、分割数をに近づけた無限な分割について考える。 この場合、はに近づく。以下では、この微小なをと定義する。 すると、式1は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ:
式2:
ここで、式2の左辺は微小量の総和であるため、に書き換えできる*5。 さらに、、であるため、左辺はに書き換えできる。 範囲を添字で指定しない以上い付いている添字は必須ではなくなり、全てに代表させれば通常の積分になる*6。 よって、
式3: