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凌宮読取術：$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$$$ = $$$$ \gDl F $$ EditToHeaderToFooter

微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。

$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$　　　ただし、$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数$$ \Big( $$$$ \ddd{F(x)}{x} = f(x) $$$$ \Big) $$

歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という２大分野を繋げた超重要公式である。
現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式*1*2*3が全てこの基本公式の拡張版に相当する。

問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。
微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、
一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では１枚の絵にならない。

体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。
このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。

$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $$$$ = $$$$ F(x_b) $$$$ - $$$$ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $$$$ = $$$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$$$ = $$$$ \gDl F $$

*1 勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $$$$ \:\nabla F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ F(\:b) $$$$ - $$$$ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名は無い。
*2 回転の面積分：$$ \int_{S}\! $$$$ \:\nabla \!\vx\! \:F $$$$ \sx d\:S $$$$ = $$$$ \int_{R} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。
*3 発散の体積分：$$ \int_{V}\! $$$$ \:\nabla $$$$ \sx $$$$ \:F $$$$ \,\, dV $$$$ = $$$$ \int_{S} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。

変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分 EditToHeaderToFooter

独立変数の微分・積分 EditToHeaderToFooter

第１段階として、問題を簡単にするべく１つの変数$$ x $$から始める。
１つの変数しか考えないので、関数は考えなくて良い*4。
今の$$ x $$は、他からの影響を一切受けない、自由な変数である。

まずは、$$ x $$軸と軸上に２点$$ x_A $$と$$ x_B $$があるとする。

xの差.png

２点によって区間$$ x_A::x_B $$*5が区切られる。
区間$$ x_A::x_B $$の長さは、２点の差分$$ \Delta x $$$$ = $$$$ x_B $$$$ - $$$$ x_A $$で与えられる。

xの差分.png

つぎに、区間$$ x_a $$$$ :: $$$$ x_b $$を$$ N $$分割して、分割点を$$ x_A $$から順に$$ x_0 $$、$$ x_1 $$…$$ x_N $$と名付ける。
小さくなるが、$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_i $$$$ :: $$$$ x_{i+1} $$の長さは端点の差分$$ \gdl x_i $$$$ = $$$$ x_{i+1} $$$$ - $$$$ x_i $$で与えられる。
また、今は区間を単純に分割しているため、$$ \gdl x_i $$を繋ぎ合わせば必ず$$ \gDl x $$に戻る。

式１：　$$ \sum_i^N \delta x_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

xの微分.png

続けて、分割数$$ N $$を無限に増やしてみる。
$$ N $$が$$ \infty $$に近づくため、$$ \gdl x_i $$は$$ 0 $$に近づく。
この$$ 0 $$に近い微小量という意味を込めて$$ \gdl x_i $$を$$ dx_i $$と置く。

一方で、式１は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ：

式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$$$ dx_i $$$$ = $$$$ \gDl x $$

式２の左辺$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$$$ dx_i $$は微小量$$ dx_i $$の総和であるため、$$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dx_i $$に書き換えできる*6
今は$$ x_0 $$$$ = $$$$ x_a $$、$$ x_\infty $$$$ = $$$$ x_b $$であるため、左辺は$$ \int_{x_i=x_0}^{x_\infty} \!\!\!\!\!\! dx_i $$$$ = $$$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx_i $$に書き換えできる。
区間の短点で範囲を表せたので、範囲の指定に使っていた$$ i $$は不要になる：

式３：　$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx $$$$ = $$$$ \gDl x $$

*4 もし関数$$ F(x) $$が頭から離れられないなら、その独立変数$$ x $$と考えても良い。
*5 $$ A $$$$ :: $$$$ B $$は凌宮数学の閉区間表記である。一般的に閉区間は括弧表記$$ [A,B] $$で表記されるが、優先順位の括弧と紛らわしいため凌宮数学では用いない。
*6 「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味である。

従属変数の微分・積分 EditToHeaderToFooter

第２段階として、$$ F(x) $$を想定した、従属変数$$ F $$を考える。
従属変数も変数である以上、独立変数$$ x $$と同じように考えられる。
以下は、従属変数らしく(?)縦軸で描くが、$$ x $$の纏めも兼ねて要点に絞る。

File not found: "Fの微差分.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]

まずは、$$ F $$軸と２点$$ F_a $$、$$ F_b $$があり、長さ$$ \gDl F $$の区間$$ F_a::F_b $$が区切られる。
つぎに、$$ F_a::F_b $$を分割すれば、長さ$$ \gdl F_i $$の区間が大量に作られ、繋げば$$ \sum_{i=0}^{N} $$$$ \gdl F_i $$$$ = $$$$ \gDl F $$に戻る。
続けて、無限に分割すれば、長さ$$ dF_i $$の区間が無限に作られ、繋げばやはり$$ \sum_{i=0}^{\infty} $$$$ dF_i $$$$ = $$$$ \gDl F $$に戻る。
最後に、$$ \sum_{i=0}^{\infty} dF_i $$、$$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dF_i $$、$$ \int_{F_i=F_0}^{F_\infty} \!\!\!\!\!\! dF_i $$、$$ \int_{F_i=F_a}^{F_b} \!\!\!\!\!\! dF_i $$、$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$は、全て同じ意味であり、積分らしく〆て：

式４：　$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$$$ = $$$$ \gDl F $$

関数の微分・積分 EditToHeaderToFooter

第３段階として、$$ F $$と$$ x $$の関係を考える。
ここに来て初めて２つの変数が出揃うので、横軸$$ x $$、縦軸$$ F $$の見慣れた２次元グラフが登場する。
手口はこれまで同様、２点の場合、適当に分割した場合、無限に分割した場合を順に進める。

File not found: "差商.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]File not found: "差分商.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]File not found: "微分商.png" at page "微分積分学の基本公式"[添付]

まずは、直交する$$ x $$軸と$$ F $$軸、そして、$$ x $$軸上の２点$$ x_a $$と$$ x_b $$、対応する$$ F $$軸上の$$ F_a $$と$$ F_b $$について考える。
各軸に区切られる区間は、長さ$$ \gDl x $$の$$ x_a::x_b $$と長さ$$ \gDl F $$の$$ F_a::F_b $$。
$$ \gDl x $$と$$ \gDl F $$の関係を無理やり式で表すと*7*8：

式５：　$$ \gDl F $$$$ = $$$$ \ffd{\gDl F}{\gDl x} $$$$ \gDl x $$

つぎに、$$ x_a::x_b $$を分割し、$$ F_i $$$$ = $$$$ F(x_i) $$の関係を保ちながら$$ F_a::F_b $$も分割する。

続けて、無限に分割する。

*7 $$ x $$も$$ F $$の関係も具体的に分から場合、$$ \gDl F $$$$ = $$$$ \gDl F(\gDl x) $$と関数記号で書くは王道だが、無理やり恒等式で書く手法もある。
*8 恒等式も$$ \gDl F $$$$ = $$$$ \gDl F $$$$ - $$$$ \gDl x $$$$ + $$$$ \gDl x $$など色々作れて、除算を選ぶ理由は特に無い。

まとめ EditToHeaderToFooter

  • 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
    • 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
  • 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

つなぎ EditToHeaderToFooter
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