微分積分学の基本公式のバックアップ差分(No.33)

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* 【執筆中】 [#k72ad61c]
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* 凌宮読取術：$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$ [#se0e5cc6]
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;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
#ceq(e)
   $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$　　　ただし、$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数$$ \Big( $ \ddd{F(x)}{x} = f(x) $ \Big) $$
#ceq(end)
;,歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という２大分野を繋げた超重要公式である。
;,現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式
  ((勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $   \:\nabla F $ \sx $ d\:r $ = $ F(\:b) $ - $ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名は無い。))
  ((回転の面積分：$$ \int_{S}\! $ \:\nabla \!\vx\! \:F $ \sx d\:S $ = $ \int_{R} $ \:F $ \sx $ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。))
  ((発散の体積分：$$ \int_{V}\! $ \:\nabla $ \sx $ \:F $ \,\,  dV $ = $ \int_{S} $ \:F $ \sx $ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。))
  が全てこの基本公式の拡張版に相当する。

;,問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。
;,微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、
;,一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では１枚の絵にならない。

;,体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
;,微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。
;,このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。

#ceq(e)
   $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)

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* 変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分 [#b9bedeb2]
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** 独立変数の微分・積分 [#i0a8e6ec]

;,第１段階として、問題を簡単にするべく１つの変数$$ x $$から始める。
;,１つの変数しか考えないので、関数は考えなくて良い
  ((もし関数$$ F(x) $$が頭から離れられないなら、その独立変数$$ x $$と考えても良い。))。
;,今の$$ x $$は、他からの影響を一切受けない、自由な変数である。

;,まずは、$$ x $$軸と軸上に２点$$ x_A $$と$$ x_B $$があるとする。
|&attachref(./xの差.png,25%);|
;,２点によって区間$$ x_A::x_B $$
  (($$ A $ :: $ B $$は凌宮数学の閉区間表記である。一般的に閉区間は括弧表記$$ [A,B] $$で表記されるが、優先順位の括弧と紛らわしいため凌宮数学では用いない。))が区切られる。
;,区間$$ x_A::x_B $$の長さは、２点の差分$$ \Delta x $ = $ x_B $ - $ x_A $$で与えられる。

|&attachref(./xの差分.png,25%);|
;,つぎに、区間$$ x_a $::$ x_b $$を$$ N $$分割して、分割点を$$ x_A $$から順に$$ x_0 $$、$$ x_1 $$…$$ x_N $$と名付ける。
;,小さくなるが、$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_i $::$ x_{i+1} $$の長さは端点の差分$$ \gdl x_i $ = $ x_{i+1} $ - $ x_i $$で与えられる。
;,また、今は区間を単純に分割しているため、$$ \gdl x_i $$を繋ぎ合わせば必ず$$ \gDl x $$に戻る。
#ceq(e)
    式１：　$$ \sum_i^N \delta x_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)

|&attachref(./xの微分.png,25%);|
;,続けて、分割数$$ N $$を無限に増やしてみる。
;,$$ N $$が$$ \infty $$に近づくため、$$ \gdl x_i $$は$$ 0 $$に近づく。
;,この$$ 0 $$に近い微小量という意味を込めて$$ \gdl x_i $$を$$ dx_i $$と置く。
  
;,一方で、式１は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ：
#ceq(e)
    式２：　$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dx_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)

;,式２の左辺$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dx_i $$は微小量$$ dx_i $$の総和であるため、$$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dx_i $$に書き換えできる
  ((「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味である。))
;,今は$$ x_0 $ = $ x_a $$、$$ x_\infty $ = $ x_b $$であるため、左辺は$$ \int_{x_i=x_0}^{x_\infty} \!\!\!\!\!\! dx_i $ = $ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx_i $$に書き換えできる。
;,区間の短点で範囲を表せたので、範囲の指定に使っていた$$ i $$は不要になる：
#ceq(e)
    式３：　$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)

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** 従属変数の微分・積分 [#b6533bac]

;,第２段階として、$$ F(x) $$を想定した、従属変数$$ F $$を考える。
;,従属変数も変数である以上、独立変数$$ x $$と同じように考えられる。
;,以下は、従属変数らしく(?)縦軸で描くが、$$ x $$の纏めも兼ねて要点に絞る。

|&attachref(./Fの微差分.png,25%);|

;,まずは、$$ F $$軸と２点$$ F_a $$、$$ F_b $$があり、長さ$$ \gDl F $$の区間$$ F_a::F_b $$が区切られる。
;,つぎに、$$ F_a::F_b $$を分割すれば、長さ$$ \gdl F_i $$の区間が大量に作られ、繋げば$$ \sum_{i=0}^{N} $ \gdl F_i $ = $ \gDl F $$に戻る。
;,続けて、無限に分割すれば、長さ$$ dF_i $$の区間が無限に作られ、繋げばやはり$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dF_i $ = $ \gDl F $$に戻る。
;,最後に、$$ \sum_{i=0}^{\infty} dF_i $$、
          $$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dF_i $$、
          $$ \int_{F_i=F_0}^{F_\infty} \!\!\!\!\!\! dF_i $$、
          $$ \int_{F_i=F_a}^{F_b} \!\!\!\!\!\! dF_i $$、
          $$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$は、全て同じ意味であり、積分らしく〆て：
#ceq(e)
    式４：　$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)

%bodynote

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** 関数の微分・積分 [#b6533bac]

;,第３段階として、$$ F $$と$$ x $$の関係を考える。
;,ここに来て初めて２つの変数が出揃うので、横軸$$ x $$、縦軸$$ F $$の見慣れた２次元グラフが登場する。
;,手口はこれまで同様、２点の場合、適当に分割した場合、無限に分割した場合を順に進める。

|&attachref(./差商.png,25%);|&attachref(./差分商.png,25%);|&attachref(./微分商.png,25%);|

;,まずは、直交する$$ x $$軸と$$ F $$軸、そして、$$ x $$軸上の２点$$ x_a $$と$$ x_b $$、
  対応する$$ F $$軸上の$$ F_a $$と$$ F_b $$について考える。
;,各軸に区切られる区間は、長さ$$ \gDl x $$の$$ x_a::x_b $$と長さ$$ \gDl F $$の$$ F_a::F_b $$。
;,まずは、$$ x $$軸と２点$$ x_a $$と$$ x_b $$、直交する$$ F $$軸と２点$$ F_a $ = $ F(x_a) $$、$$ F_b $ = $ F(x_b) $$について考える。
;,各軸に区切られる区間は、長さ$$  \gDl x $$の$$ x_a::x_b $$と長さ$$ \gDl F $$の$$ F_a::F_b $$。
;,$$ \gDl x $$と$$ \gDl F $$の関係を無理やり式で表すと
  (($$ x $$も$$ F $$の関係も具体的に分から場合、$$ \gDl F $ = $ \gDl F(\gDl x) $$と関数記号で書くは王道だが、無理やり恒等式で書く手法もある。))
  ((恒等式も$$ \gDl F $ = $ \gDl F $ - $ \gDl x $ + $ \gDl x $$など色々作れて、除算を選ぶ理由は特に無い。))：

#ceq(e)
    式５：　$$ \gDl F $ = $ \ffd{\gDl F}{\gDl x} $ \gDl x $$
#ceq(end)


;,

;,つぎに、$$ x_a::x_b $$を分割し、$$ F_i $ = $ F(x_i) $$の関係を保ちながら$$ F_a::F_b $$も分割する。

;,続けて、無限に分割する。



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* まとめ [#t6cee131]
- 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
-- 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
- 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い

* つなぎ [#g57744a6]

%bodynote


//;,&attachref(./差.png,40%);
//
//
//- 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
//-- 手順１：　２点の差を考える
//-- 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
//-- 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。
//* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 [#bfea63a1]
//-- 手順４：　関数を考える
//-- 手順５：　手順１～３を繰り返す


//* 作図 [#bb77c072]
//- 座標
//　$$ \iro[md]{x} $$
//　$$ \iro[md]{F} $$
//　$$ \iro[md]{0} $$
//　$$ \iro[md]{x_a} $$
//　$$ \iro[md]{x_b} $$
//　$$ \iro[md]{F_a} $$
//　$$ \iro[md]{F_b} $$
//
//- 差
//　$$ \iro[ai]{F} $$
//　$$ \iro[ai]{x_0} $$
//　$$ \iro[ai]{x_1} $$
//　$$ \iro[ai]{x_2} $$
//　$$ \iro[ai]{x_3} $$
//　$$ \iro[ai]{x_n} $$
//　$$ \iro[ai]{x_N} $$
//　$$ \iro[ai]{x_\infty} $$
//　$$ \iro[ai]{F_0} $$
//　$$ \iro[ai]{F_n} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl F} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl x} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
//- 差分
//　$$ \iro[ai]{x_i} $$
//　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
//　$$ \iro[ai]{F_i} $$
//　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl x_0} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl F_0} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl x_1} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl F_1} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl x_N} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl F_N} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl x_\infty} $$
//　$$ \iro[ak]{\gdl F_\infty} $$
//
//　$$ \iro[ai]{\cdots} $$
//　$$ \iro[ak]{\cdots} $$
//
//　$$ \iro[ak]{dF} $$
//　$$ \iro[ak]{dx} $$
//- 微分
//　$$ \iro[ak]{dF_0} $$
//　$$ \iro[ak]{dx_0} $$
//　$$ \iro[ak]{dF_1} $$
//　$$ \iro[ak]{dx_1} $$
//　$$ \iro[ak]{dF_i} $$
//　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
//　$$ \iro[ak]{dF_N} $$
//　$$ \iro[ak]{dx_N} $$
//　$$ \iro[ak]{dF_\infty} $$
//　$$ \iro[ak]{dx_\infty} $$
//- グラフ
//;,&attachref(./差分.png,40%);
//;,&attachref(./微分.png,40%);
微分積分学の基本公式 のバックアップ差分(No.33)

微分積分学の基本公式のバックアップ差分(No.33)
