微分積分学の基本公式 のバックアップ(No.34) |
【執筆中】凌宮読取術: ⇒微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という2大分野を繋げた超重要公式である。 問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。 体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
*1
勾配の線積分: ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名は無い。
*2 回転の面積分: ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。 *3 発散の体積分: ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。 変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分独立変数の微分・積分第1段階では、問題を簡単にするべく、1つの変数から始める。 まずは、軸と軸上に2点とがある場合を考える。 つぎに、区間を分割して、分割点をから順に、…と名付ける。 ポイントは、今は区間を単純に分割しているため、を繋ぎ合わせば必ずに戻ること。
続けて、分割数を無限に増やしてみる。 一方で、式1は分割数に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ:
ここで、左辺のは微小量の総和であるため、に書き換えできる*6
*4
は凌宮数学の閉区間表記である。一般的に閉区間は括弧表記で表記されるが、優先順位の括弧と紛らわしいため凌宮数学では用いない。
*5 のような一般的な微分とは全く別物である。区別のため「全微分」で呼ばれる場合がある。 *6 「微小量の総和」というのがの本来の意味である。 従属変数の微分・積分第2段階として、を想定した、従属変数を考える。
まずは、軸と2点、があれば、長さの区間が1つ区切られる。
続けて、無限に分割すれば、長さの区間が無限に作られ、繋げばやはりに戻る。
最後に、は、全て同じ意味であり、積分らしく〆て:
「独立変数の微分」と「従属変数の微分」の関係第3段階として、との関係を考える。
まずは、軸と2点と、直交する軸と2点、について考える。
つぎに、を分割し、の関係を保ちながらも分割する。
続けて、を無限に分割する。
さらに、対応していることが分かれば良いので、添字を省けば:
*7
一般に、であることに注意。
*8 もの関係も具体的に分から場合、と関数記号で書くは王道だが、強引に恒等式で書く手法もある。 *9 恒等式もなど色々作れて、除算と乗算を選ぶ理由は特に無いが、除算と乗算を選べば微分と積分に繋がる。 微分・積分の基本定理これまで、差→差分→微分と区間を小さくする手順を繰り返してきた。
まとめ
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