%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 凌宮読取術：$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$ [#se0e5cc6]
////////////////////////////////////////////////////////////////
;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる微分と積分を結ぶ関係式がある。
#ceq(e)
$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$ ただし、$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数$$ \Big( $ \ddd{F(x)}{x} = f(x) $ \Big) $$
#ceq(end)
;,歴史的には、別々に発展した微分法と区分求積法という２大分野を繋げた超重要公式である。
;,現在のベクトル解析では、重要な置換積分公式
((勾配の線積分：$$ \int_{\:a}^{\:b}\! $ \:\nabla F $ \sx $ d\:r $ = $ F(\:b) $ - $ F(\:a) $$ ── 微分積分の基本公式のベクトル版。なぜか慣用名は無い。))
((回転の面積分：$$ \int_{S}\! $ \:\nabla \!\vx\! \:F $ \sx d\:S $ = $ \int_{R} $ \:F $ \sx $ d\:r $$ ── 面積分と線積分を繋ぐ置換積分公式。ストークスの定理。))
((発散の体積分：$$ \int_{V}\! $ \:\nabla $ \sx $ \:F $ \,\, dV $ = $ \int_{S} $ \:F $ \sx $ d\:S $$ ── 体積分と面積分を繋ぐ置換積分公式。ガウスの定理。))
が全てこの基本公式の拡張版に相当する。
;,問題は、図形と密接に繋がっている基本公式にも関わらず、図による直観的な説明が見掛けない。
;,微分積分学の基本公式では、微分の結果に対して積分を行うため、
;,一般的に教えられる「微分は傾き、積分は面積」という考え方では１枚の絵にならない。
;,体積分は体積、面積分は面積、線積分は線積(?)要は長さを表すのが名前通りの意味。
;,微分積分の基本公式に出てくる積分は、スカラの線積分であるため、長さを表すように図示できる。
;,このため、凌宮数学では、基本公式を以下のように読み替え、ベクトル解析の考え方で図示する。
#ceq(e)
$$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! f(x) dx $ = $ F(x_b) $ - $ F(x_a) $$ ⇒ $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 変数の微分・積分 ── 関数でない、もう一つの微分積分 [#b9bedeb2]
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** 独立変数の微分・積分 [#i0a8e6ec]
;,第１段階では、問題を簡単にするべく、１つの変数$$ x $$から始める。
;,今の$$ x $$は、他からの影響を一切受けない、自由な変数である。
|&attachref(./xの差.png,25%);|
;,まずは、$$ x $$軸と軸上に２点$$ x_A $$と$$ x_B $$がある場合を考える。
;,２点によって区間$$ x_a::x_b $$
(($$ a::b $$は凌宮数学の閉区間表記である。一般的に閉区間は括弧表記$$ [a,b] $$で表記されるが、優先順位の括弧と紛らわしいため凌宮数学では用いない。))が区切られる。
;,区間$$ x_a::x_b $$の長さは、２点の''差''$$ \Delta x $ = $ x_b $ - $ x_a $$で与えられる。
|&attachref(./xの差分.png,25%);|
;,つぎに、区間$$ x_a::x_b $$を$$ N $$分割して、分割点を$$ x_A $$から順に$$ x_0 $$、$$ x_1 $$…$$ x_N $$と名付ける。
;,小さくなるが、$$ \gDl x $$と同様に、区間$$ x_i::x_{i+1} $$の長さは端点の''差分''$$ \gdl x_i $ = $ x_{i+1} $ - $ x_i $$で与えられる。
;,$$ \gdl x_i $$は差分と呼ばれるが、$$ x_i $$が数列っぽく、$$ \gdl x_i $$小さいってだけで、差$$ \gDl x $$と何も変わらない。
;,ポイントは、今は区間を単純に分割しているため、$$ \gdl x_i $$を繋ぎ合わせば必ず$$ \gDl x $$に戻ること。
#ceq(e)
式１： $$ \sum_i^N \delta x_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
|&attachref(./xの微分.png,25%);|
;,続けて、分割数$$ N $$を無限に増やしてみる。
;,$$ N $$が$$ \infty $$に近づくため、$$ \gdl x_i $$は$$ 0 $$に近づく。
;,この$$ 0 $$に近い微小量という意味を込めて$$ \gdl x_i $$を$$ dx_i $$と表記し、$$ x $$の微分
(($$\ddd{f}{x}$$のような一般的な微分とは全く別物である。区別のため「全微分」で呼ばれる場合がある。))と呼ぶ。
;,一方で、式１は分割数$$ N $$に無関係に成り立つため、無限に分割ても同様の式が成り立つ：
#ceq(e)
式２： $$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dx_i $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
;,ここで、左辺の$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dx_i $$は微小量$$ dx_i $$の総和であるため、$$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dx_i $$に書き換えできる
((「微小量の総和」というのが$$ \int $$の本来の意味である。))
;,今は$$ x_0 $ = $ x_a $$、$$ x_\infty $ = $ x_b $$であるため、$$ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dx_i $ = $ \int_{x_i=x_0}^{x_\infty} \!\!\!\!\!\! dx_i $ = $ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx_i $$は全て同じ意味である。
;,区間の端点で表せたため、範囲の指定に使っていた$$ {}_i $$は今や不要となる：
#ceq(e)
式３： $$ \int_{x_a}^{x_b} \!\! dx $ = $ \gDl x $$
#ceq(end)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 従属変数の微分・積分 [#b6533bac]
;,第２段階として、$$ F(x) $$を想定した、従属変数$$ F $$を考える。
;,従属変数も変数である以上、独立変数$$ x $$と同じように考えられる。
;,以下は、従属変数らしく縦軸で描くが、$$ x $$の纏めも兼ねて要点に絞る。
|&attachref(./Fの微差分.png,25%);|
;,まずは、$$ F $$軸と２点$$ F_a $$、$$ F_b $$があれば、長さ$$ \gDl F $$の区間$$ F_a::F_b $$が１つ区切られる。
;,つぎに、$$ F_a::F_b $$を分割すれば、長さ$$ \gdl F_i $$の区間が大量に作られ、繋げば$$ \gDl F $$に戻る。
#ceq(e)
式４：$$ \sum_{i=0}^{N} $ \gdl F_i $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,続けて、無限に分割すれば、長さ$$ dF_i $$の区間が無限に作られ、繋げばやはり$$ \gDl F $$に戻る。
#ceq(e)
式５：$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dF_i $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
;,最後に、$$ \sum_{i=0}^{\infty} dF_i $$
$$ = $ \int_{i=0}^{\infty} \!\! dF_i $$
$$ = $ \int_{F_i=F_0}^{F_\infty} \!\!\!\!\!\! dF_i $$
$$ = $ \int_{F_i=F_a}^{F_b} \!\!\!\!\!\! dF_i $$
$$ = $ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$は、全て同じ意味であり、積分らしく〆て：
#ceq(e)
式６： $$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $ = $ \gDl F $$
#ceq(end)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 「独立変数の微分」と「従属変数の微分」の関係 [#p4af4a9f]
;,第３段階として、$$ F $$と$$ x $$の関係を考える。
;,ここに来て初めて２つの変数が出揃うので、横軸$$ x $$、縦軸$$ F $$の見慣れた２次元グラフが登場する。
;,手口はこれまで同様、２点の場合、適当に分割した場合、無限に分割した場合を順に進める。
|&attachref(./差商.png,25%);|&attachref(./差分商.png,25%);|&attachref(./微分商.png,25%);|
;,まずは、$$ x $$軸と２点$$ x_a $$と$$ x_b $$、直交する$$ F $$軸と２点$$ F_a $ = $ F(x_a) $$、$$ F_b $ = $ F(x_b) $$について考える。
;,軸上に２点があれば、長さ$$ \gDl x $$の区間$$ x_a::x_b $$と長さ$$ \gDl F $$の区間$$ F_a::F_b $$が区切られる。
;,２つの差$$ \gDl x $$と$$ \gDl F $$の関係を無理やり式で表すと
((一般に、$$ \gDl F $ \neq $ F(\gDl x) $$であることに注意。))
(($$ x $$も$$ F $$の関係も具体的に分から場合、$$ \gDl F $ = $ \gDl F(\gDl x) $$と関数記号で書くは王道だが、強引に恒等式で書く手法もある。))
((恒等式も$$ \gDl F $ = $ \gDl F $ - $ \gDl x $ + $ \gDl x $$など色々作れて、除算と乗算を選ぶ理由は特に無いが、除算と乗算を選べば微分と積分に繋がる。))：
#ceq(e)
式７： $$ \gDl F $ = $ \ffd{\gDl F}{\gDl x} $ \gDl x $$
#ceq(end)
;,つぎに、$$ x_a::x_b $$を分割し、$$ F_i $ = $ F(x_i) $$の関係を保ちながら$$ F_a::F_b $$も分割する。
;,対応する２つの差分$$ \gdl x $$と$$ \gdl F $$に着目すると、式７の差と全く同じ関係が成り立つ：
#ceq(e)
式８： $$ \gdl F_i $ = $ \ffd{\gdl F_i}{\gdl x_i} $ \gdl x_i $$
#ceq(end)
;,続けて、$$ x_a::x_b $$を無限に分割する。
;,$$ \gdl x_i $$と$$ \gdl F_i $$が小さくなるだけで何も変わらないため、式８の差分と全く同じ関係が成り立つ：
#ceq(e)
式９： $$ dF_i $ = $ \ddd{F_i}{x_i} $ dx_i $$
#ceq(end)
;,さらに、対応していることが分かれば良いので、添字$$ {}_i $$を省けば：
#ceq(e)
式10： $$ dF $ = $ \ddd{F}{x} $ dx $$
#ceq(end)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 微分・積分の基本公式 [#c1740ad7]
;,これまで、「差$$ \gDl $$」→「差分$$ \gdl $$」→「微分$$ d $$」と区間を小さくする手順を繰り返してきた。
;,それぞれで得た式を並べば、区間を小さくしただけで、他は何も変わらないことを直観で分かる。
|*差 |*差分 |*微分 |h
|&attachref(./差商.png,25%);|&attachref(./差分商.png,25%);|&attachref(./微分商.png,25%);|
|* |c:*差と和 |< |< |c:*商と積 |< |< |c:*微分・積分の基本公式 |< |< |< |< |
|l: |r: |lx: |lx: |r: |lx: |lx: |r: |lx: |lx: |lx: |lx: |c
|*差 |$$ \iro[hi]{\sum} $ \gDl F $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|$$ \gDl F $$|$$ = $$|$$ \ffd{\gDl F}{\gDl x} $ \gDl x $$|$$ \iro[hi]{\sum} $ \ffd{\gDl F}{\gDl x} $ \gDl x $$|$$ = $$|$$ \iro[hi]{\sum} $ \gDl F $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|
|*差分|$$ \sum_{i=0}^{N} $ \gdl F_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|$$ \gdl F_i $$|$$ = $$|$$ \ffd{\gdl F_i}{\gdl x_i} $ \gdl x_i $$|$$ \sum_{i=0}^{N} $ \ffd{\gdl F}{\gdl x_i} $ \gdl x $$|$$ = $$|$$ \sum_{i=0}^{N} $ \gdl F_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|
|*微分|$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dF_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|$$ dF_i $$|$$ = $$|$$ \ddd{F_i}{x_i} $ dx_i $$|$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ \ddd{F_i}{x_i} $ dx_i $$|$$ = $$|$$ \sum_{i=0}^{\infty} $ dF_i $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|
|^ |$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|$$ dF $$|$$ = $$|$$ \ddd{F}{x} $ dx $$|$$ \int_{x_a}^{x_b} $ \ddd{F}{x} $ dx $$|$$ = $$|$$ \int_{F_a}^{F_b} \!\! dF $$|$$ = $$|$$ \gDl F $$|
////////////////////////////////////////////////////////////////
* ２つの微分・積分 [#kd6ff870]
;,微分・積分の直観的理解のため、変数の微分$$ dF $$とその積分$$ \int_{F_a}^{F_b} dF $$について考えた。
;,$$ dF $$は全微分とも呼ばれ、偏微分とも呼ばれる通常の微分とは異なる。
;,$$ \int_{F_a}^{F_b} dF $$は通常の積分とは区別されないが、凌宮数学では用語の統一のため、全積分と呼び分ける。
| |l=: | |l=: | |c
|*凌宮系統名|*全微分 |*偏微分 |*全積分 |*偏積分 |
|*慣用名 | 微分 | 微分 | 積分 |< |
|^ | | 常微分((他に、微分係数、導関数とも呼ばれる))| 定積分 |< |
|^ | 全微分 | 偏微分 | 線積分 |< |
|*表記例 | $$ dF $$、$$ dx $$| $$ \ddd{F}{x} $$ | $$ \int_{F_a}^{F_b} dF $$、$$ \int_{x_a}^{x_b} dx $$| $$ \int_{x_a}^{x_b} f\,dx $$|
|*特徴 | 変数だけの微分 | 関数だけの微分 | 変数に作用した積分 | 関数に作用した積分 |
////////////////////////////////////////////////////////////////
* まとめ・つなぎ [#bd1fa385]
* つなぎ [#g57744a6]
%bodynote
//;,&attachref(./差.png,40%);
//
//
//- 方法１： 微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本公式を説明してみた
//-- 手順１： ２点の差を考える
//-- 手順２： ２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
//-- 手順３： ２点の間を無限に分割し、同上。
//* 一般的な微分積分 ── 被微分関数・被積分関数の有る微分・積分 [#bfea63a1]
//-- 手順４： 関数を考える
//-- 手順５： 手順１〜３を繰り返す
//* 作図 [#bb77c072]
//- 座標
// $$ \iro[md]{x} $$
// $$ \iro[md]{F} $$
// $$ \iro[md]{0} $$
// $$ \iro[md]{x_a} $$
// $$ \iro[md]{x_b} $$
// $$ \iro[md]{F_a} $$
// $$ \iro[md]{F_b} $$
//
//- 差
// $$ \iro[ai]{F} $$
// $$ \iro[ai]{x_0} $$
// $$ \iro[ai]{x_1} $$
// $$ \iro[ai]{x_2} $$
// $$ \iro[ai]{x_3} $$
// $$ \iro[ai]{x_n} $$
// $$ \iro[ai]{x_N} $$
// $$ \iro[ai]{x_\infty} $$
// $$ \iro[ai]{F_0} $$
// $$ \iro[ai]{F_n} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
//- 差分
// $$ \iro[ai]{x_i} $$
// $$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
// $$ \iro[ai]{F_i} $$
// $$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_0} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_0} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_1} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_1} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_i} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_N} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_N} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl x_\infty} $$
// $$ \iro[ak]{\gdl F_\infty} $$
//
// $$ \iro[ai]{\cdots} $$
// $$ \iro[ak]{\cdots} $$
//
// $$ \iro[ak]{dF} $$
// $$ \iro[ak]{dx} $$
//- 微分
// $$ \iro[ak]{dF_0} $$
// $$ \iro[ak]{dx_0} $$
// $$ \iro[ak]{dF_1} $$
// $$ \iro[ak]{dx_1} $$
// $$ \iro[ak]{dF_i} $$
// $$ \iro[ak]{dx_i} $$
// $$ \iro[ak]{dF_N} $$
// $$ \iro[ak]{dx_N} $$
// $$ \iro[ak]{dF_\infty} $$
// $$ \iro[ak]{dx_\infty} $$
//- グラフ
//;,&attachref(./差分.png,40%);
//;,&attachref(./微分.png,40%);
![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
Fx微分.png 644件
[詳細]
Fx差分.png 695件
[詳細]
Fx差.png 663件
[詳細]
F微分.png 698件
[詳細]
F差分.png 620件
[詳細]
F差.png 597件
[詳細]
x微分.png 646件
[詳細]
x差分.png 669件
[詳細]
x差.png 640件
[詳細]
F対xの微分商.png 2656件
[詳細]
F対xの差分商.png 2679件
[詳細]
F対xの差商.png 365件
[詳細]
Fの微分.png 376件
[詳細]
Fの差.png 337件
[詳細]
Fの差分.png 336件
[詳細]
xの微分.png 2627件
[詳細]
xの差分.png 2550件
[詳細]
xの差.png 2599件
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