微分積分学の基本公式のバックアップ差分(No.8)

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* 【執筆中】 [#k72ad61c]
* 凌宮読取術：$$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$　⇒　$$ \sum dF_i $ = $ \gDl F $$ [#qdd169b0]
;,微分積分学には、「微分積分学の基本公式」と呼ばれる定積分と原始関数を結ぶ関係式がある。
#ceq(e)
  $$ \int_{x_0}^{x_n} \!\! \ddd{F}{x} dx $ = $ F(x_0) $ - $ F(x_n) $$
#ceq(end)
;,ここで、$$ \ddd{F}{x} $$は$$ F(x) $$の導関数であり、$$ F(x) $$は$$ \ddd{F}{x} $$の原始関数である
((一般的に、$$ \ddd{F}{x} $$を$$ f(x) $$と置き、「$$ F(x) $$は$$ f(x) $$の原始関数」のように書かれる。))。

//- 歴史的には、微分法と区分求積法という別々に生まれて発展した分野が、この式で結ばれる経緯になっている。
//- このため、基本定理の理解が、微分積分の要という位置づけにある。

;,一般に、微分を図示する際は、被微分関数$$ f(x) $$が線として、微分$$ \ddd{f}{x} $$はその線の傾きとして描かれる$$ f $$-$$ x $$グラフが多用される。
;,対して、積分を図示する際は、被積分関数$$ F(x) $$が線として、積分$$ \int F\,dx $$はその線と$$ x $$軸が挟む領域の面積として描かれる$$ F $$-$$ x $$グラフが多用される。





- 背景３：　現在、積分は区分求積ではなく微分の逆操作として導入しているゆえ、微分積分学の基本公式が区分求積抜きで登場する。
- 背景４：　幾何的意味では区分求積に基づくグラフを用いて説明される
- 問題１：　区分求積に使う図では、積分は面積を表すが、微分は傾きを表してない。
- 問題２：　微分が傾きを表す図での説明が見ない。

- 方法１：　微分が傾きを表す図で、積分の表すものを探し出し、微分積分学の基本方式を説明してみた
-- 手順１：　２点の差を考える
-- 手順２：　２点の間を有限に分割し、各分割に対応する差の総和を考える
-- 手順３：　２点の間を無限に分割し、同上。
-- 手順４：　関数を考える
-- 手順５：　手順１～３を繰り返す

- 結果１：　積分は探すまでもなかったし、自明に近い関係だった。
-- 明らか過ぎて故に、説明するまでも無かったのだろうか
- 結果２：　区分求積にある「近似誤差が０になる」の概念が発生せず、常に「厳密に一致」するためハードルが低い


%bodynote

* 作図 [#bb77c072]
- 座標
　$$ \iro[md]{x} $$
　$$ \iro[md]{y} $$
　$$ \iro[md]{0} $$
- 差
　$$ \iro[ai]{F} $$
　$$ \iro[ai]{x_0} $$
　$$ \iro[ai]{x_n} $$
　$$ \iro[ai]{F_0} $$
　$$ \iro[ai]{F_n} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl F} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl x} $$
- 差分
　$$ \iro[ai]{x_i} $$
　$$ \iro[ai]{x_{i+1}} $$
　$$ \iro[ai]{F_i} $$
　$$ \iro[ai]{F_{i+1}} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl F_i} $$
　$$ \iro[ak]{\gDl x_i} $$
- 微分
　$$ \iro[ak]{dF_i} $$
　$$ \iro[ak]{dx_i} $$
- グラフ
;,&attachref(./差.png,40%);
;,&attachref(./差分.png,40%);
;,&attachref(./微分.png,40%);
微分積分学の基本公式 のバックアップ差分(No.8)

微分積分学の基本公式のバックアップ差分(No.8)
