部分分数分解と剰余定理 のバックアップの現在との差分(No.1) |
概要大学の部分分数分解は高校で習う剰余定理である。大学で習う部分分数分解は、高校で習う剰余定理である。部分分数分解物理・工学の諸分野で線形微分方程式を解く必要がある。 ラプラス変換自体は以下の積分式により定義されるが、
ここで、良く使う関数のラプラス変換結果はの有理式*3になっているのが分かる。 このため、ラプラス変換で線形微分方程式を解く際には、複雑な有理式を表内の有理式に分解する計算が大量発生する。 例えば、。 表内の分数の線形結合にさえ分解できれば、直ちに微分方程式の解が分かる。 例の場合は、より、、が分かり、 方程式の解はラプラス変換がになる関数となる。 分母の因数分解でまでは良いが、 その先は恒等式を解くことになる。 この分母が高次多項式の有理式を、分母が低次多項式の有理式の線形和に分解する式変形を部分分数分解と言う。 部分分数分解は分母を払ってから展開して係数比較しても地道に解けるが、次のテクニックが良く知られている。 剰余定理一般に、多項式を1次式で割った商を、余りをと置くと、 と表せて、 が成り立つ。 これが高校で学ぶ剰余定理である。 そこで、を眺めてみると、 の分母を払って、と置くと、剰余定理とそっくりな式を作り出せる。 そのため、が導ける*4。 同様にの分母を払えば、と置くと、 が得られる。 そこで、やの計算に使うにを使えば、 前節で紹介した部分分数分解のテクニックとなる。 |