概要 EditToHeaderToFooter

大学で習う部分分数分解は、高校で習う剰余定理である。

部分分数分解 EditToHeaderToFooter

物理・工学の諸分野で線形微分方程式を解く必要がある。
その中、ラプラス変換で線形微分方程式を手軽に解く分野がある。
例えば、電気工学や制御工学、振動工学などが特にラプラス変換を好む。

ラプラス変換自体は以下の積分式により定義されるが、
ラプラス変換で微分方程式を解く際は予め計算されるラプラス変換表を使う。

正変換：　$$ \mathcal{L}[f(t)] $$$$ = $$$$ F(\:s) $$$$ = $$$$ \int_0^\infty $$$$ f(t) $$$$ e^{-\:st} $$$$ dt $$*1

逆変換：$$ \mathcal{L}^{-1}[F(\:s)] $$$$ = $$$$ f(t) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{2\pi \:i} $$$$ \int_{\sigma - \:i\infty}^{\sigma + \:i \infty} $$$$ F(s) $$$$ e^{st} $$$$ ds $$*2

ラプラス変換表
原関数$$ f(t) $$$$ 1 $$$$ t $$$$ t^n $$$$ e^{at} $$$$ \sin(at) $$$$ \cos(at) $$
像関数$$ F(\:s) $$$$ \ffd{1}{\:s} $$$$ \ffd{1}{\:s^2} $$$$ \ffd{n!}{\:s^{n+1}} $$$$ \ffd{1}{\:s-a} $$$$ \ffd{a}{\:s^2+a^2} $$$$ \ffd{\:s}{\:s^2+a^2} $$

ここで、良く使う関数のラプラス変換結果は$$ s $$の有理式*3になっているのが分かる。
このため、ラプラス変換で線形微分方程式を解く際には、複雑な有理式を表内の有理式に分解する計算が大量発生する。
例えば、

$$ F(\:s) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{\:s^2 + 3\:s + 2} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{\:s+1} $$$$ - $$$$ \ffd{1}{\:s+2} $$

表内の分数の線形結合にさえ分解できれば、直ちに微分方程式の解が分かる。
例の場合は、$$ e^{at} $$$$ \Longrightarrow $$$$ \ffd{1}{\:s-a} $$より、$$ e^{-t} $$$$ \Longrightarrow $$$$ \ffd{1}{\:s+1} $$、$$ e^{-2t} $$$$ \Longrightarrow $$$$ \ffd{1}{\:s+2} $$が分かり、
ラプラス変換が$$ F(\:s) $$になる関数は$$ f(t) $$$$ = $$$$ e^{-1} $$$$ - $$$$ e^{-2t} $$となる。

分母の因数分解で$$ \ffd{1}{\:s^2 + 3\:s + 2} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{(s+1)(s+2)} $$までは良いが、
その先は恒等式$$ \ffd{1}{(s+1)(s+2)} $$$$ = $$$$ \ffd{A}{s+1} $$$$ + $$$$ \ffd{B}{s+2} $$を解くことになる。

*1 \:s は複素数。
*2 \:i は複素数単位。\:i^2 = -1。
*3 多項式を分母と分子とする分数式
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