複素数の双対基底 のバックアップの現在との差分(No.1) |
複素数の基底表記凌宮数学では、ベクトルの成分と基底を明記する基底成分表記を用いる \arrb{ &spandel; \:e_x & A_x&spanend; &spandel; \\ \:e_y & A_y&spanend; &spanadd; A_x & \:e_x&spanend; &spanadd; \\ A_y & \:e_y&spanend; }ここで、とはそれぞれと方向の基底、とは対応する成分である。 ここで、とはそれぞれと方向の基底、 とは対応する成分である。 複素数も同様に、とを複素空間上の基底と見なせる。 \arrb{ &spandel; \:e_1 & A_1&spanend; &spandel; \\ \:e_i & A_i&spanend; &spanadd; A_1 & \:e_1&spanend; &spanadd; \\ A_i & \:e_i&spanend; } 負の正規条件通常、双対基底を選ぶ場合は、同規定 双対基底を選ぶ場合、通常は対応する基底の内積がになる正規条件を課すが、 複素数基底の場合はを課すことで記述できる。 の逆基底を、の逆基底をで表す*1と、 双対基底の正規条件と直交条件が以下のように書ける: 正基底と逆基底の関係逆基底を正基底の線形結合で表し*2、 正基底と内積を取れば正基底と逆基底の関係が求まる。 と置けば、、、直交なためにより、 よって、、、、となり、 ここで、は負の正規条件を満たすが、 をで表記するととなり、 通常の複素数積であると異なって、少々紛らわしい。 内積に関して、が単位ベクトルで、自身と向きが同じであるため、となる。 このため、内積と複素数積の違いに十分気をつける必要がある。 複素数の双対表記任意の複素数は、 正基底と逆基底を使ってと書ける*4。 とで表すと、になる。 これを任意のに対する基底との恒等式と見なせば、正基底と逆基底の成分間の関係が得られる。 正基底と逆基底で表されたの内積を取ると、長さの二乗が得られる。 ところで、複素数解析では、を共役素数を使って表現する場合が多い。 |