複素数の基底表記 EditToHeaderToFooter

凌宮数学では、ベクトルの成分と基底を明記する基底成分表記を用いる
　　$$ \arrb{ A_x & \:e_x \\ A_y & \:e_y } $$$$ = $$$$ A_x $$$$ \:e_x $$$$ + $$$$ A_y $$$$ \:e_y $$
ここで、$$ \:e_x $$と$$ \:e_y $$はそれぞれ$$ x $$と$$ y $$方向の基底、$$ A_x $$と$$ A_y $$は対応する成分である。

複素数も同様に、$$ \:e_1 $$$$ = $$$$ \:1 $$と$$ \:e_i $$$$ = $$$$ \:i $$を複素空間上の基底と見なせる。
　　$$ \arrb{ A_1 & \:e_1 \\ A_i & \:e_i } $$$$ = $$$$ A_1 $$$$ \:e_1 $$$$ + $$$$ A_i $$$$ \:e_i $$$$ = $$$$ A_1 $$$$ + $$$$ A_i $$$$ \:i $$

負の正規条件 EditToHeaderToFooter

双対基底を選ぶ場合、通常は対応する基底の内積が$$ 1 $$になる正規条件を課すが、
複素数基底の場合は$$ -1 $$を課すことで記述できる。

$$ \:e_1 $$の逆基底を$$ \:e_1^- $$、$$ \:e_i $$の逆基底を$$ \:e_i^- $$で表すと、
双対基底の正規条件と直交条件が以下のように書ける：

$$ \iro[ao]{\:e_1} $$$$ \iro[ao]{\sx} $$$$ \iro[ao]{\:e_1^-} $$$$ \iro[ao]{=} $$$$ \iro[ao]{1} $$

$$ \iro[ak]{\:e_1} $$$$ \iro[ak]{\sx} $$$$ \iro[ak]{\:e_i^-} $$$$ \iro[ak]{=} $$$$ \iro[ak]{0} $$

$$ \iro[ak]{\:e_i} $$$$ \iro[ak]{\sx} $$$$ \iro[ak]{\:e_1^-} $$$$ \iro[ak]{=} $$$$ \iro[ak]{0} $$

$$ \iro[ao]{\:e_i} $$$$ \iro[ao]{\sx} $$$$ \iro[ao]{\:e_i^-} $$$$ \iro[ao]{=} $$$$ \iro[ao]{-1} $$

正基底と逆基底の関係 EditToHeaderToFooter

逆基底を正基底の線形結合で表し、正基底と内積を取れば正基底と逆基底の関係が求まる。

$$ \:e_1^- $$$$ = $$$$ c_{11}^- $$$$ \:e_1 $$$$ + $$$$ c_{1i}^- $$$$ \:e_i $$

$$ \:e_i^- $$$$ = $$$$ c_{i1}^- $$$$ \:e_1 $$$$ + $$$$ c_{ii}^- $$$$ \:e_i $$

と置けば、$$ \:e_1 $$$$ \sx $$$$ \:e_1 $$$$ = $$$$ |\:e_1|^2 $$$$ = $$$$ 1 $$、$$ \:e_i $$$$ \sx $$$$ \:e_i $$$$ = $$$$ |\:e_i|^2 $$$$ = $$$$ 1 $$、直交なために$$ \:e_i $$$$ \sx $$$$ \:e_i $$$$ = $$$$ 0 $$より、

$$ \iro[ao]{\cancelto{ 1}{\iro[kr]{\:e_1^- \sx \:e_1}}}\quad $$$$ = $$$$ c_{11}^- $$$$ \cancelto{1}{\:e_1 \sx \:e_1}\quad $$$$ + $$$$ c_{1i}^- $$$$ \cancelto{0}{\:e_i \sx \:e_1}\quad $$

$$ \iro[ak]{\cancelto{ 0}{\iro[kr]{\:e_1^- \sx \:e_i}}}\quad $$$$ = $$$$ c_{11}^- $$$$ \cancelto{0}{\:e_1 \sx \:e_i}\quad $$$$ + $$$$ c_{1i}^- $$$$ \cancelto{1}{\:e_i \sx \:e_i}\quad $$

$$ \iro[ak]{\cancelto{ 0}{\iro[kr]{\:e_i^- \sx \:e_1}}}\quad $$$$ = $$$$ c_{i1}^- $$$$ \cancelto{1}{\:e_1 \sx \:e_1}\quad $$$$ + $$$$ c_{ii}^- $$$$ \cancelto{0}{\:e_i \sx \:e_1}\quad $$

$$ \iro[ao]{\cancelto{\!\!\!\!-1}{\iro[kr]{\:e_i^- \sx \:e_i}}}\quad $$$$ = $$$$ c_{i1}^- $$$$ \cancelto{0}{\:e_1 \sx \:e_i}\quad $$$$ + $$$$ c_{ii}^- $$$$ \cancelto{1}{\:e_i \sx \:e_i}\quad $$

よって、$$ c_{11}^- $$$$ = $$$$ 1 $$、$$ c_{1i}^- $$$$ = $$$$ 0 $$、$$ c_{i1}^- $$$$ = $$$$ 0 $$、$$ c_{ii}^- $$$$ = $$$$ -1 $$となり、

$$ \:e_1^- $$$$ = $$$$ \:e_1 $$$$ = $$$$ 1 $$

$$ \:e_i^- $$$$ = $$$$ -\:e_i $$$$ = $$$$ -\:i $$

ここで、$$ \:e_i^- $$$$ = $$$$ \:i $$は負の正規条件を満たすが、$$ \:e_i^- $$$$ \sx $$$$ \:e_i $$を$$ \:i $$で表記すると$$ -\:i $$$$ \sx $$$$ \:i $$$$ = $$$$ -1 $$となり、
通常の複素数積である$$ (-\:i) $$$$ (\:i) $$$$ = $$$$ -i^2 $$$$ = $$$$ +1 $$と非常に紛らわしい。
このため、内積と複素数積の違いに十分に気をつける必要がある。

複素数の双対表記 EditToHeaderToFooter

任意の複素数$$ \:A $$$$ = $$$$ A_1 $$$$ + $$$$ A_i $$$$ \:i $$は、
正基底と逆基底で表すと$$ \:A $$$$ = $$$$ \arrb{A_1 & \:e_1 \\ A_i & \:e_i} $$$$ = $$$$ \arrb{A_1 & \:e_1^- \\ -A_i & \:e_i^-} $$になる。
$$ \:1 $$と$$ \:i $$を使うと、$$ \:A $$$$ = $$$$ \arrb{A_1 & \:1 \\ A_i & \:i} $$$$ = $$$$ \arrb{A_1 & \:1 \\ -A_i & -\:i} $$になる。
ここで、正基底と逆基底で表された$$ \:A $$の内積を取ると、

$$ \:A $$$$ \sx $$$$ \:A $$$$ = $$$$ \arrb{A_1 & \:e_1 \\ A_i & \:e_i} $$$$ \sx $$$$ \arrb{A_1 & \:e_1^- \\ -A_i & \:e_i^-} $$
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