複素数の双対基底 のバックアップの現在との差分(No.5) |
複素数の基底表記凌宮数学では、ベクトルの成分と基底を明記する基底成分表記を用いる 複素数も同様に、とを複素空間上の基底と見なせる。 負の正規条件双対基底を選ぶ場合、通常は対応する基底の内積がになる正規条件を課すが、 の逆基底を、の逆基底をで表す*1と、 正基底と逆基底の関係逆基底を正基底の線形結合で表し*2、正基底と内積を取れば正基底と逆基底の関係が求まる。 と置けば、、、直交なためにより、 よって、、、、となり、 ここで、は負の正規条件を満たすが、をで表記するととなり、 通常の複素数積であると異なって、非常に紛らわしい。 通常の複素数積であると異なって、少々紛らわしい。 内積に関して、が単位ベクトルで、自身と向きが同じであるため、となる。 このため、内積と複素数積の違いに十分に気をつける必要がある。 このため、内積と複素数積の違いに十分気をつける必要がある。 *2
は単なる係数であり、右肩の「」には「逆基底の係数」を表す他に意味は無い。
*3 直ちにと書けそうだが、で逆基底を表す定義としているために負号は取れない。については次節で扱う。 *4 直ちにと書けそうだが、で逆基底を表す定義としているために負号は取れない。については次節で扱う。 複素数の双対表記任意の複素数は、 とで表すと、になる。 これを任意のに対する基底との恒等式と見なせば、、が得られる。 これを任意のに対する基底との恒等式と見なせば、正基底と逆基底の成分間の関係が得られる。 正基底と逆基底で表されたの内積を取ると、長さの二乗が得られる。 ここで、正基底と逆基底で表されたの内積を取ると、 ところで、複素数解析では、を共役素数を使って表現する場合が多い。
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