%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 複素数の基底表記 [#bf6cbdf2]
;,凌宮数学では、ベクトルの成分と基底を明記する基底成分表記を用いる
;,
$$
\arrb{
A_x & \:e_x
\\ A_y & \:e_y
}
$$
$$ = $ A_x $ \:e_x $ + $ A_y $ \:e_y $$
;,ここで、$$ \:e_x $$と$$ \:e_y $$はそれぞれ$$ x $$と$$ y $$方向の基底、
$$ A_x $$と$$ A_y $$は対応する成分である。
;,複素数も同様に、$$ \:e_1 $ = $ \:1 $$と$$ \:e_i $ = $ \:i $$を複素空間上の基底と見なせる。
;,
$$
\arrb{
A_1 & \:e_1
\\ A_i & \:e_i
}
$$
$$ = $ A_1 $ \:e_1 $ + $ A_i $ \:e_i $ = $ A_1 $ + $ A_i $ \:i $$
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 負の正規条件 [#m8112b2f]
;,双対基底を選ぶ場合、通常は対応する基底の内積が$$ 1 $$になる正規条件を課すが、
;,複素数基底の場合は$$ -1 $$を課すことで記述できる。
;,$$ \:e_1 $$の逆基底を$$ \:e_1^- $$、$$ \:e_i $$の逆基底を$$ -\:e_i^- $$で表す
((通常表記では正基底と逆基底を$$ \:e_i $$と$$ \:e^i $$で書く場合が多いが、&br;凌宮の逆基底表記には正規条件の値を内包するため明示的に$$ \ffd{-1}{\:e_i} $ = $ -\:e_i^- $$と表す。))と、
;,双対基底の&color(#06F){正規条件};と&color(#C00){直交条件};が以下のように書ける：
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\:e_1} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{\:e_1^-} $ \iro[ao]{=} $ \iro[ao]{1} $$
#ceq(q)
$$ \iro[ak]{\:e_1} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e_i^-} $ \iro[ak]{=} $ \iro[ak]{0} $$
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\:e_i} $ \iro[ak]{\sx} $ \iro[ak]{\:e_1^-} $ \iro[ak]{=} $ \iro[ak]{0} $$
#ceq(q)
$$ \iro[ao]{\:e_i} $ \iro[ao]{\sx} $ \iro[ao]{-\:e_i^-} $ \iro[ao]{=} $ \iro[ao]{-1} $$
#ceq(end)
%bodynote
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*** 正基底と逆基底の関係 [#e2afc7d9]
;,逆基底を正基底の線形結合で表し(($$ c_{11}^- $$は単なる係数であり、右肩の「$$ {}^- $$」には「逆基底の係数」を表す他に意味は無い。))、
正基底と内積を取れば正基底と逆基底の関係が求まる。
#ceq(e)
$$ \phantom+\:e_1^- $ = $ c_{11}^- $ \:e_1 $ + $ c_{1i}^- $ \:e_i $$
#ceq(e)
$$ -\:e_i^- $ = $ c_{i1}^- $ \:e_1 $ + $ c_{ii}^- $ \:e_i $$
#ceq(end)
;,と置けば、$$ \:e_1 $ \sx $ \:e_1 $ = $ |\:e_1|^2 $ = $ 1 $$、$$ \:e_i $ \sx $ \:e_i $ = $ |\:e_i|^2 $ = $ 1 $$、直交なために$$ \:e_i $ \sx $ \:e_i $ = $ 0 $$より、
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\cancelto{ 1}{\iro[kr]{\phantom+\:e_1^- \sx \:e_1}}}\quad $ = $ c_{11}^- $ \cancelto{1}{\:e_1 \sx \:e_1}\quad $ + $ c_{1i}^- $ \cancelto{0}{\:e_i \sx \:e_1}\quad $$
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\cancelto{ 0}{\iro[kr]{\phantom+\:e_1^- \sx \:e_i}}}\quad $ = $ c_{11}^- $ \cancelto{0}{\:e_1 \sx \:e_i}\quad $ + $ c_{1i}^- $ \cancelto{1}{\:e_i \sx \:e_i}\quad $$
#ceq(e)
$$ \iro[ak]{\cancelto{ 0}{\iro[kr]{ -\:e_i^- \sx \:e_1}}}\quad $ = $ c_{i1}^- $ \cancelto{1}{\:e_1 \sx \:e_1}\quad $ + $ c_{ii}^- $ \cancelto{0}{\:e_i \sx \:e_1}\quad $$
#ceq(e)
$$ \iro[ao]{\cancelto{\!\!\!\!-1}{\iro[kr]{ -\:e_i^- \sx \:e_i}}}\quad $ = $ c_{i1}^- $ \cancelto{0}{\:e_1 \sx \:e_i}\quad $ + $ c_{ii}^- $ \cancelto{1}{\:e_i \sx \:e_i}\quad $$
#ceq(end)
;,よって、$$ c_{11}^- $ = $ 1 $$、$$ c_{1i}^- $ = $ 0 $$、$$ c_{i1}^- $ = $ 0 $$、$$ c_{ii}^- $ = $ -1 $$となり、
#ceq(e)
$$ \phantom+\:e_1^- $ = $ \phantom+\:e_1 $ = $ \phantom+\:1 $$
#ceq(e)
$$ -\:e_i^- $ = $ -\:e_i $ = $ -\:i $$((直ちに$$ \:e_i^- $ = $ \:e_i $ = $ \:i $$と書けそうだが、$$ -\:e_i^- $$で逆基底を表す定義としているために負号は取れない。$$ \:e_i^- $$については次節で扱う。))
#ceq(end)
;,ここで、$$ -\:e_i^- $ = $ -\:i $$は負の正規条件を満たすが、
$$ -\:e_i^- $ \sx $ \:e_i $$を$$ \:i $$で表記すると$$ -\:i $ \sx $ \:i$ = $ -1 $$となり、
;,通常の複素数積である$$ (-\:i) $ (\:i) $ = $ -\:i^2 $ = $ +1 $$と異なって、少々紛らわしい。
;,内積に関して、$$ \:i $$が単位ベクトルで、$$ \:i $$自身と向きが同じであるため、$$ \:i $ \sx $ \:i $ = $ +1 $$となる。
;,このため、内積と複素数積の違いに十分気をつける必要がある。
%bodynote
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*** 複素数の双対表記 [#rec13220]
;,任意の複素数$$ \:A $ = $ A_1 $ + $ A_i $ \:i $$は、
;,正基底と逆基底を使って$$ \:A $ = $ \arrb{A_1 & \:e_1 \\ A_i & \:e_i} $ = $ \arrb{A_1^- & \phantom+\:e_1^- \\ A_i^- & -\:e_i^-} $$と書ける
(($$ A_1^- $$と$$ A_i^- $$は単なる係数である。))。
;,$$ \:1 $$と$$ \:i $$で表すと、$$ \:A $ = $ \arrb{A_1 & \:1 \\ A_i & \:i} $ = $ \arrb{A_1^- & \phantom+\:1 \\ A_i^- & -\:i} $$になる。
;,これを任意の$$ \:A $$に対する基底$$ \:1 $$と$$ -\:i $$の恒等式と見なせば、正基底と逆基底の成分間の関係が得られる。
#ceq(e)
$$ A_1^- $ = $ \phantom+A_1 $$
&br;$$ A_i^- $ = $ -A_i $$
#ceq(q)
$$ \:A $ = $ \arrb{\phantom+A_1 & \phantom+\:e_1^- \\ -A_i & -\:e_i^-} $$
#ceq(end)
;,ここで、正基底と逆基底で表された$$ \:A $$の内積を取ると、
#ceq(e)
$$ \:A $ \sx $ \:A $ = $ \arrb{A_1 & \:e_1 \\ A_i & \:e_i} $ \sx $ \arrb{A_1 & \:e_1^- \\ -A_i & \:e_i^-} $ = $ $$
#ceq(end)
%bodynote
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