背景 EditToHeaderToFooter

３次元球面座標で変換行列は$$ \left\{\arr[l]{ x = r\sin\theta\, \cos\phi \\ y = r\sin\theta\, \sin\phi \\ z = r\cos\theta \\ }\right. $$で定義され、
変換行列は以下のように表される：

$$ \ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)} $$$$ = $$$$ \arrs[ccc]{ \sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\ \sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\sin\theta\, \cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ } $$

$$ \phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}} $$$$ = $$$$ \arrs[ccc]{ \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ } $$$$ \arrs[ccc]{ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ } $$$$ \arrs[ccc]{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 \\ 0 & 0 & r\sin\theta \\ } $$

以下では、この因数分解の幾何的意味を考える。

回転と計量の分解 EditToHeaderToFooter

２次元極座標系における回転と計量の分解 EditToHeaderToFooter

一般に、２次元の極座標系は$$ \left\{\arr[l]{ x = r\cos\phi \\ y = r\sin\phi \\ }\right. $$で定義され*1、
変換行列は以下のように表せる：

$$ \ppd{(x,y)}{(r,\phi)} $$$$ = $$$$ \arrs[cc]{ \cos\phi & -r\sin\phi \\ \sin\phi & r\cos\phi \\ } $$

変換行列の行列式であるヤコビアンを計算すると：

$$ \left|\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}\right| $$$$ = $$$$ (\cos\phi) $$$$ (r\cos\phi) $$$$ - $$$$ (\sin\phi) $$$$ (-r\cos\phi) $$$$ = $$$$ r $$

よって、置換積分は$$ dx $$$$ dy $$$$ = $$$$ r $$$$ dr $$$$ d\phi $$と書ける。

これは、$$ dr $$ と $$ r $$$$ d\phi $$の積と見なせて、
$$ \theta $$が無次元のため、計量$$ r $$で長さの次元を帳尻合わせしていると解釈できる。

ここで、変換行列から計量を分離すると、回転行列が残った式が得られる：

$$ \ppd{(x,y)}{(r,\phi)} $$$$ = $$$$ \arrs[cc]{ \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \\ } $$$$ \arrs[cc]{ 1 & 0 \\ 0 & r \\ } $$

*1 一般的に$$ \phi $$ではなく$$ \theta $$を用いられるが、球面座標系の文字に揃えた。球面座標系では$$ \theta $$が極から降ろす向きに定義され、極座標の$$ \phi $$と定義が異なる。

３次元極座標系における回転と計量の分解 EditToHeaderToFooter

３次元極座標系に対しても同様に考察すると、
ヤコビアンを頑張って計算すれば、$$ \left|\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}\right| $$$$ = $$$$ r^2\sin\theta $$を得られて、
置換積分は$$ dx $$$$ dy $$$$ dz $$$$ = $$$$ r^2 $$$$ \sin\theta $$$$ dr $$$$ d\theta $$と書ける。

類推から$$ dr $$と$$ r $$$$ d\theta $$と$$ r $$$$ \sin\theta $$$$ d\phi $$の積と見なせて、
各次元の帳尻合わせと解釈できる。
特に$$ \phi $$方向の計量は、$$ r $$に依存するのみならず$$ \theta $$にも依存するのが、
同じ半径$$ r $$の球面上における異なる$$ \theta $$の円周が異なるためと解釈できる。
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