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/変換行列の連鎖則
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* 背景 [#w2ced3c2]
;;3次元球面座標で変換行列は
$$
\left\{\arr[l]{
x = r\sin\theta\, \cos\phi \\
y = r\sin\theta\, \sin\phi \\
z = r\cos\theta \\
}\right.
$$
で定義され、
;,変換行列は以下のように表される:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}
$=
$\arrs[ccc]{
\sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\
\sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\sin\theta\, \cos\phi \\
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
}
$$
#ceq(e)
$$
\phantom{\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}}
$=
$\arrs[ccc]{
\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
}
$\arrs[ccc]{
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
}
$\arrs[ccc]{
1 & 0 & 0 \\
0 & r & 0 \\
0 & 0 & r\sin\theta \\
}
$$
#ceq(d)
以下では、この因数分解の幾何的意味を考える。
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* 回転と計量の分解 [#d83c40b3]
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** 2次元極座標系における回転と計量の分解 [#w2a34b92]
;;一般に、2次元の極座標系は
$$
\left\{\arr[l]{
x = r\cos\phi \\
y = r\sin\phi \\
}\right.
$$
で定義され((一般的に$$ \phi $$ではなく$$ \theta $$を用いられるが、球面座標系の文字に揃えた。球面座標系では$$ \theta $$が極から降ろす向きに定義され、極座標の$$ \phi $$と定義が異なる。))、
;,変換行列は以下のように表せる:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
$=
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -r\sin\phi \\
\sin\phi & r\cos\phi \\
}
$$
#ceq(d)
;,変換行列の行列式であるヤコビアンを計算すると:
#ceq(e)
$$
\left|\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}\right|
$ = $ (\cos\phi) $ (r\cos\phi) $ - $ (\sin\phi) $ (-r\cos\phi)
$ = $ r
$$
#ceq(d)
;,よって、置換積分は$$ dx $ dy $ = $ r $ dr $ d\phi $$と書ける。
;;これは、$$ dr $$ と $$ r $ d\phi $$の積と見なせて、
;,$$ \theta $$が無次元のため、計量$$ r $$で長さの次元を帳尻合わせしていると解釈できる。
;;ここで、変換行列から計量を分離すると、回転行列が残った式が得られる:
#ceq(e)
$$
\ppd{(x,y)}{(r,\phi)}
$=
$\arrs[cc]{
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi \\
}
$\arrs[cc]{
1 & 0 \\
0 & r \\
}
$$
#ceq(d)
%bodynote
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** 3次元極座標系における回転と計量の分解 [#vcb2db62]
;,3次元極座標系に対しても同様に考察すると、
;,ヤコビアンを頑張って計算すれば、
$$
\left|\ppd{(x,y,z)}{(r,\theta,\phi)}\right|
$ = $ r^2\sin\theta
$$
を得られて、
;,置換積分は$$ dx $ dy $ dz $ = $ r^2 $ \sin\theta $ dr $ d\theta $$と書ける。
;,類推から$$ dr $$と$$ r $ d\theta $$と$$ r $ \sin\theta $ d\phi $$の積と見なせて、
;,各次元の帳尻合わせと解釈できる。
;,特に$$ \phi $$方向の計量は、$$ r $$に依存するのみならず$$ \theta $$にも依存するのが、
;,同じ半径$$ r $$の球面上における異なる$$ \theta $$の円周が異なるためと解釈できる。