- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
%indent
* 概要 [#sa3e2b20]
* 計算 [#td74e6cf]
*** 3次元空間における1形式のラプラシアン [#i4b508fc]
//$$
// \arrb[cc|cc]{
// \:e_x & & F_x
// \\ \:e_y & \:e_z & F_y & F_z
// }
//$$
;,$$ \:f $ := $ f_x $ \:e_x $ + $ f_y $ \:e_y $ + $ f_z $ \:e_z $ = $$
$$
\arrb{
f_x & \:e_x
\\ f_y & \:e_y
\\ f_z & \:e_z
}
$$
として、
;,$$ \bigtriangleup $ \:f $ := $ \grad $ \diver $ \:f $ - $ \rot $ \rot $ \:f $$を計算する。
$$ \bigtriangleup $ \:f $ = $ \grad $ \diver $ \:f $ - $ \rot $ \rot $ \:f $$
#ceq(e)
#ceq(e)
$$ = $ \:\nabla $ ( $ \:\nabla $ \sx $ \:f $ ) $ - $ \:\nabla $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:f $ ) $$
#ceq(e)
$$ = $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$ \left(\rule{0pt}{4em}\right. $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$ \Sx $$
$$
\arrb{
f_x & \:e_x \ffdstrut
\\ f_y & \:e_y \ffdstrut
\\ f_z & \:e_z \ffdstrut
}
$$
$$ \left)\rule{0pt}{4em}\right. $$
$$ - $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$ \vx $$
$$ \left(\rule{0pt}{4em}\right. $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$ \vx $$
$$
\arrb{
f_x & \:e_x \ffdstrut
\\ f_y & \:e_y \ffdstrut
\\ f_z & \:e_z \ffdstrut
}
$$
$$ \left)\rule{0pt}{4em}\right. $$
#ceq(e)
$$ = $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{f_x}{x}
+ \ppd{f_y}{y}
+ \ppd{f_z}{z}
& \:1 \rule[-3.5em]{0pt}{7.5em}
}
$$
$$ - $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$ \vx $$
$$
\arrb{
\ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} & \:e_x
\\ \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} & \:e_y
\\ \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} & \:e_z
}
$$
#ceq(e)
$$ = $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z
}
$$
$$ - $$
$$
\arrb{
\ppd{}{y} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) - \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) & \:e_x
\\ \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) - \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) & \:e_y
\\ \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) - \ppd{}{y} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) & \:e_z
}
$$
#ceq(e)
$$ = $$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z
}
$$
$$ - $$
$$
\arrb{
\ppd{}{y} \ppd{f_y}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_x}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_x}{z} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{z} \ppd{f_z}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_y}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_y}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_x}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{x} \ppd{f_x}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_z}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_z}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{z} & \:e_z
}
$$
#ceq(d)