概要 EditToHeaderToFooter

計算 EditToHeaderToFooter

3次元空間における1形式のラプラシアン EditToHeaderToFooter

$$ \:f $$$$ := $$$$ f_x $$$$ \:e_x $$$$ + $$$$ f_y $$$$ \:e_y $$$$ + $$$$ f_z $$$$ \:e_z $$$$ = $$$$ \arrb{ f_x & \:e_x \\ f_y & \:e_y \\ f_z & \:e_z } $$として、
$$ \bigtriangleup $$$$ \:f $$$$ := $$$$ \grad $$$$ \diver $$$$ \:f $$$$ - $$$$ \rot $$$$ \rot $$$$ \:f $$を計算する。

$$ \bigtriangleup $$$$ \:f $$$$ = $$$$ \grad $$$$ \diver $$$$ \:f $$$$ - $$$$ \rot $$$$ \rot $$$$ \:f $$

$$ = $$$$ \:\nabla $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ \sx $$$$ \:f $$$$ ) $$$$ - $$$$ \:\nabla $$$$ \vx $$$$ ( $$$$ \:\nabla $$$$ \vx $$$$ \:f $$$$ ) $$

$$ = $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} & \:e_x \\ \ppd{}{y} & \:e_y \\ \ppd{}{z} & \:e_z } $$$$ \left(\rule{0pt}{4em}\right. $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} & \:e_x \\ \ppd{}{y} & \:e_y \\ \ppd{}{z} & \:e_z } $$$$ \Sx $$$$ \arrb{ f_x & \:e_x \ffdstrut \\ f_y & \:e_y \ffdstrut \\ f_z & \:e_z \ffdstrut } $$$$ \left)\rule{0pt}{4em}\right. $$$$ - $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} & \:e_x \\ \ppd{}{y} & \:e_y \\ \ppd{}{z} & \:e_z } $$$$ \vx $$$$ \left(\rule{0pt}{4em}\right. $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} & \:e_x \\ \ppd{}{y} & \:e_y \\ \ppd{}{z} & \:e_z } $$$$ \vx $$$$ \arrb{ f_x & \:e_x \ffdstrut \\ f_y & \:e_y \ffdstrut \\ f_z & \:e_z \ffdstrut } $$$$ \left)\rule{0pt}{4em}\right. $$

$$ = $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} & \:e_x \\ \ppd{}{y} & \:e_y \\ \ppd{}{z} & \:e_z } $$$$ \arrb{ \ppd{f_x}{x} + \ppd{f_y}{y} + \ppd{f_z}{z} & \:1 \rule[-3.5em]{0pt}{7.5em} } $$$$ - $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} & \:e_x \\ \ppd{}{y} & \:e_y \\ \ppd{}{z} & \:e_z } $$$$ \vx $$$$ \arrb{ \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} & \:e_x \\ \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} & \:e_y \\ \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} & \:e_z } $$

$$ = $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x \\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y \\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z } $$$$ - $$$$ \arrb{ \ppd{}{y} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) - \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) & \:e_x \\ \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) - \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) & \:e_y \\ \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) - \ppd{}{y} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) & \:e_z } $$

$$ = $$$$ \arrb{ \ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x \\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y \\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z } $$$$ - $$$$ \arrb{ \ppd{}{y} \ppd{f_y}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_x}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_x}{z} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{x} & \:e_x \\ \ppd{}{z} \ppd{f_z}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_y}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_y}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_x}{y} & \:e_y \\ \ppd{}{x} \ppd{f_x}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_z}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_z}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{z} & \:e_z } $$
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