余微分によるラプラシア表記
のバックアップの現在との差分(No.1)
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余微分によるラプラシア表記
へ行く。
概要
計算
3次元空間における1形式のラプラシアン
$$
\arrb{
f_x & \:e_x
\\ f_y & \:e_y
\\ f_z & \:e_z
}
$$
として、
を計算する。
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
f_x & \:e_x \ffdstrut
\\ f_y & \:e_y \ffdstrut
\\ f_z & \:e_z \ffdstrut
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
f_x & \:e_x \ffdstrut
\\ f_y & \:e_y \ffdstrut
\\ f_z & \:e_z \ffdstrut
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{f_x}{x}
+ \ppd{f_y}{y}
+ \ppd{f_z}{z}
& \:1 \rule[-3.5em]{0pt}{7.5em}
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} & \:e_x
\\ \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} & \:e_y
\\ \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{y} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) - \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) & \:e_x
\\ \ppd{}{z} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) - \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_y}{x} - \ppd{f_x}{y} \Big) & \:e_y
\\ \ppd{}{x} \Big( \ppd{f_x}{z} - \ppd{f_z}{x} \Big) - \ppd{}{y} \Big( \ppd{f_z}{y} - \ppd{f_y}{z} \Big) & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{x} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{x} \ppd{f_z}{z} & \:e_x
\\ \ppd{}{y} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_z}{z} & \:e_y
\\ \ppd{}{z} \ppd{f_x}{x} + \ppd{}{z} \ppd{f_y}{y} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{z} & \:e_z
}
$$
$$
\arrb{
\ppd{}{y} \ppd{f_y}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_x}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_x}{z} + \ppd{}{z} \ppd{f_z}{x} & \:e_x
\\ \ppd{}{z} \ppd{f_z}{y} - \ppd{}{z} \ppd{f_y}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_y}{x} + \ppd{}{x} \ppd{f_x}{y} & \:e_y
\\ \ppd{}{x} \ppd{f_x}{z} - \ppd{}{x} \ppd{f_z}{x} - \ppd{}{y} \ppd{f_z}{y} + \ppd{}{y} \ppd{f_y}{z} & \:e_z
}
$$
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