概要 EditToHeaderToFooter

論理包含、含意、内含は、歴史的に「⊃」の記号で表記される経緯がある。
他方、集合論でも集合の包含を表すのに「⊃」が使われる。
ところが、命題p⊃qに対し、pとqに関連深い集合PとQを考えるとP⊂Qと真逆な向きになり、非常に紛らわしいことが起こる。

以下では、その仕組みを簡単に纏める。
なお、混同を減らすため、紛らわしさを対比させる場合を除き、
原則として、論理包含は「⇒」で、集合包含は「⊃」で表記する。

命題と集合の対応関係 EditToHeaderToFooter

一般に、命題p(x)があると、その命題を条件とする集合P={x|p(x)}が自然に作れる。
例えば、p(x)が「xが偶数」であれば、対応するP={x|xが偶数}が必ず作れる。
この1対1の対応付けは集合の内包表記そのものに利用され、集合の要件としても要請される。

論理包含の集合表記 EditToHeaderToFooter

命題r(x)=[p(x)⇒q(x)]の集合表記を考える。

  • p(x) は P={x|p(x)}
  • q(x) は Q={x|q(x)}
  • r(x) は R={x|r(x)}={x|p(x)⇒q(x)}と書ける。
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