概要 EditToHeaderToFooter

論理包含、含意、内含は、歴史的には記号$$ \supset $$で表記される経緯がある。
他方、集合論でも集合の包含の表記にも記号$$ \supset $$が使われる。
ところが、命題$$ p $$$$ \supset $$$$ q $$に対し、$$ p $$と$$ q $$に関連深い集合$$ P $$と$$ Q $$を考えると$$ P $$$$ \subset $$$$ Q $$と真逆な向きになり、紛らわしいことが起こる。

以下では、その仕組みを簡単に纏める。
なお、混同を減らすため、紛らわしさを対比させる場合を除き、
原則として、論理包含は記号$$ \Rightarrow $$で、集合包含は記号$$ \supset $$で表記する。

命題と集合の対応関係 EditToHeaderToFooter

一般に、命題$$ p(x) $$があると、その命題を条件とする集合$$ P $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ | $$$$ p(x) $$$$ \} $$と１対１で対応づけできる。
例えば、$$ p(x) $$が「$$ x $$が偶数」であれば、対応する$$ P $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ | $$$$ x $$が偶数$$ \} $$が必ず作れる。
この１対１の対応付けは集合の内包表記そのものに利用され、集合の要件としても要請される。

逆に、集合$$ P $$があると、要素の包含を表す命題$$ p(x) $$$$ = $$$$ x $$$$ \in $$$$ P $$が１対１で対応づけできる。
例えば、$$ P $$が偶数の集合ならば、対応する$$ p(x) $$$$ = $$$$ [ $$$$ x $$$$ \in $$$$ P $$$$ ] $$、すなわち「$$ x $$は偶数である」が必ず作れる。
一般に、$$ P $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ | $$$$ x $$$$ \in $$$$ P $$$$ \} $$は常に成り立つ。

論理包含の集合表記 EditToHeaderToFooter

命題$$ r(x) $$$$ = $$$$ [ $$$$ p(x) $$$$ \Rightarrow $$$$ q(x) $$$$ ] $$の集合表記を考える。
対応関係は、

  • $$ p(x) $$$$ : $$$$ P $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ | $$$$ p(x) $$$$ \} $$、
  • $$ q(x) $$$$ : $$$$ Q $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ | $$$$ q(x) $$$$ \} $$、
  • $$ r(x) $$$$ : $$$$ R $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ | $$$$ r(x) $$$$ \} $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ | $$$$ p(x) $$$$ \Rightarrow $$$$ q(x) $$$$ \} $$となる。
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