論理包含の表記 のバックアップソース(No.2)

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  • 1 (2018.0306 (火) 0241.5700)
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* 概要 [#d267ecf3]
;,論理包含、含意、内含は、歴史的には記号$$ \supset $$で表記される経緯がある。
;,他方、集合論でも集合の包含の表記にも記号$$ \supset $$が使われる。
;,ところが、命題$$ p $ \supset $ q $$に対し、$$ p $$と$$ q $$に関連深い集合$$ P $$と$$ Q $$を考えると$$ P $ \subset $ Q $$と真逆な向きになり、紛らわしいことが起こる。

;,以下では、その仕組みを簡単に纏める。
;,なお、混同を減らすため、紛らわしさを対比させる場合を除き、
;,原則として、論理包含は記号$$ \Rightarrow $$で、集合包含は記号$$ \supset $$で表記する。

* 命題と集合の対応関係 [#q99ec54e]
;,一般に、命題$$ p(x) $$があると、その命題を条件とする集合$$ P $ = $ \{ $ x $ | $ p(x) $ \} $$と１対１で対応づけできる。
;,例えば、$$ p(x) $$が「$$ x $$が偶数」であれば、対応する$$ P $ = $ \{ $ x $ | $ x $$が偶数$$ \} $$が必ず作れる。
;,この１対１の対応付けは集合の内包表記そのものに利用され、集合の要件としても要請される。

;,逆に、集合$$ P $$があると、要素の包含を表す命題$$ p(x) $ = $ x $ \in $ P $$が１対１で対応づけできる。
;,例えば、$$ P $$が偶数の集合ならば、対応する$$ p(x) $ = $ [ $ x $ \in $ P $ ] $$、すなわち「$$ x $$は偶数である」が必ず作れる。
;,一般に、$$ P $ = $ \{ $ x $ | $ x $ \in $ P $ \} $$は常に成り立つ。

* 論理包含の集合表記 [#d4c875e5]

;,命題$$ r(x) $ = $ [ $ p(x) $ \Rightarrow $ q(x) $ ] $$の集合表記を考える。
;,対応関係は、
- $$ p(x) $ : $ P $ = $ \{ $ x $ | $ p(x) $ \} $$、
- $$ q(x) $ : $ Q $ = $ \{ $ x $ | $ q(x) $ \} $$、
- $$ r(x) $ : $ R $ = $ \{ $ x $ | $ r(x) $ \} $ = $ \{ $ x $ | $ p(x) $ \Rightarrow $ q(x) $ \} $$となる。